規定

本文出現的一切代數符號均代指非負整數。

定義

2.0 四邊形不等式

設 \(w(x,y)\) 為一關於 \(x,y\) 的二元函式，若 \(\forall a\le b\le c\le d,w(a,d)+w(b,c)\ge w(a,c)+w(b,d)\)，則稱其滿足四邊形不等式

2.1 包含單調

若 \(\forall a\le b\le c\le d,w(a,d)\ge w(b,c)\)，則稱 \(w(x,y)\) 滿足包含單調

2.2 決策單調性

對於狀態轉移方程 \(f_i=\min\limits_{j<i}\left\{f_j+w(j,i)\right\}\)，令 \(p_i\)

為 \(f_i\) 的最優決策點，若 \(\forall i<j,p_i\le p_j\)，則稱 \(f_i\) 滿足決策單調性。

對於狀態轉移方程 \(f_{i,j}=\begin{cases}\min\limits_{i\le k<j}\left\{f_{i,k}+f_{k+1,j}+w(i,j)\right\}&i<j\\0&i=j\end{cases}\)，令 \(p_{i,j}\) 為$ f_{i,j}$ 的最優決策點，若 \(p_{i,j-1}\le p_{i,j}\le p_{i+1,j}\)，則稱 \(f_{i,j}\) 滿足決策單調性。

定理

定理 3.1

\(\forall a<b,w(a,b+1)+w(a+1,b)\ge w(a,b)+w(a+1,b+1)\) 是 \(w\) 滿足四邊形不等式的充要條件。

證明：

必要性的證明只需將 \(a<b\) 改寫成 \(a\le a+1\le b\le b+1\) 即可；

接下來證充分性，假設 \(\forall a+k<c\)，有

\[w(a,c+1)+w(a+k,c)\ge w(a,c)+w(a+k,c+1) \]

由題設可知

\[\begin{aligned}w(a+k,c+1)+w(a+k+1,c)&\ge w(a+k,c)+w(a+k+1,c+1)\end{aligned} \]

兩式相加再整理得

\[w(a,c+1)+w(a+k+1,c)\ge w(a,c)+w(a+k+1,c+1) \]

由歸納可知，\(\forall a\le b\le c\)，\(w(a,c+1)+w(b,c)\ge w(a,c)+w(b,c+1)\)

同理可證，\(\forall a\le b\le c\le d,w(a,d)+w(b,c)\ge w(a,c)+w(b,d)\)

\[\color{green}{Q.E.D.} \]

定理 3.2

對於狀態轉移方程 \(f_i=\min\limits_{j<i}\left\{f_j+w(j,i)\right\}\)，若 \(w(j,i)\) 滿足四邊形不等式，則 \(f_i\) 滿足決策單調性。

證明：

設 \(f_i\) 的最優決策點為 \(p_i\)，則 \(\forall k<p_i,f_k+w(k,i)\ge \displaystyle f_{p_i}+w(p_i,i)\)

又由 \(\forall i'>i,w(k,i')+w(p_i,i)\ge w(k,i)+w(p_i,i')\)

所以 \(f_k+w(k,i')\ge f_{p_i}+w(p_i,i')\)

即證對於 \(f_{i'}\) 的決策，\(k\) 不可能優於 \(p_i\)，故 \(f_i\) 滿足決策單調性。

\[\color{green}{Q.E.D.} \]

定理 3.3

對於狀態轉移方程 \(f_{i,j}=\begin{cases}\min\limits_{i\le k<j}\left\{f_{i,k}+f_{k+1,j}+w(i,j)\right\}&i<j\\0&i=j\end{cases}\)，若 \(w(i,j)\) 滿足四邊形不等式與包含單調，則 \(f_{i,j}\) 滿足四邊形不等式。

證明：

當 \(i+1=j\) 時，\(f_{i,j+1}+f_{i+1,j}=f_{i,i+2}+f_{j,j}=f_{i,i+2}\)

若 \(f_{i,i+2}\) 的最優決策點為 \(i\)，則

\[\begin{aligned}f_{i,j+1}+f_{i+1,j}&=f_{i,i}+f_{i+1,i+2}+w(i,i+2)\\&=f_{i+1,i+2}+w(i,i+2)\\&\ge f_{i+1,i+2}+w(i,i+1)\\&=f_{i+1,j+1}+f_{i,j}\end{aligned} \]

若 \(f_{i,i+2}\) 的最優決策點為 \(i+1\)，則

\[\begin{aligned}f_{i,j+1}+f_{i+1,j}&=f_{i,i+1}+f_{i+2,i+2}+w(i,i+2)\\&=f_{i,i+1}+w(i,i+2)\\&\ge f_{i,i+1}+w(i+1,i+2)\\&=f_{i,j}+f_{i+1,j+1}\end{aligned} \]

綜上，\(\forall j-i=1,f_{i,j+1}+f_{i+1,j}\ge f_{i,j}+f_{i+1,j+1}\)

接下來用數學歸納法，假設 \(\forall j-i<k,f_{i,j+1}+f_{i+1,j}\ge f_{i,j}+f_{i+1,j+1}\)

令 \(j'=i+k\)，設 \(f_{i,j'+1}\) 和 \(f_{i+1,j'}\) 的最優決策點分別為 \(x,y\)，不妨令 \(x\le y\)，則

\[f_{i,j'+1}+f_{i+1,j'}=f_{i,x}+f_{x+1,j'+1}+w(i,j'+1)+f_{i+1,y}+f_{y+1,j'}+w(i+1,j') \]

再由

\[\begin{aligned}f_{i,j'}+f_{i+1,j'+1}&\le f_{i,x}+f_{x+1,j'}+w(i,j')+f_{i+1,y}+f_{y+1,j'+1}+w(i+1,j'+1)\\w(i,j+1)+w(i+1,j)&\ge w(i,j)+w(i+1,j+1)\end{aligned} \]

整理得

\[f_{i,j'+1}+f_{i+1,j'}\ge f_{i,j'}+f_{i+1,j'+1} \]

即證 \(\forall i<j,f_{i,j+1}+f_{i+1,j}\ge f_{i,j}+f_{i+1,j+1}\)，故 \(f_{i,j}\) 滿足四邊形不等式。

\[\color{green}{Q.E.D.} \]

3.4

對於狀態轉移方程 \(f_{i,j}=\begin{cases}\min\limits_{i\le k<j}\left\{f_{i,k}+f_{k+1,j}+w(i,j)\right\}&i<j\\0&i=j\end{cases}\)，若 \(f_{i,j}\) 滿足四邊形不等式，則 \(f_{i,j}\) 滿足決策單調性.

設 \(s_{i,j}\) 為 \(f_{i,j}\) 的最優決策點，為方便描述，記 \(p=s_{i,j}\)，則 \(\forall i<k\le p,f_{i,p}+f_{i+1,k}\ge f_{i,k}+f_{i+1,p}\)

考慮到 \(p\) 的最優性

\[f_{i,p}+f_{p+1,j}+w(i,j)\le f_{i,k}+f_{k+1,j}+w(i,j) \]

整理得

\[f_{i+1,p}+f_{p+1,j}+w(i,j)\le f_{i+1,k}+f_{k+1,j}+w(i,j) \]

這個不等式說明，對於 \(f_{i+1,j}\)的決策，\(k\) 不可能優於 \(p\)，即 \(s_{i+1,j}\ge s_{i,j}\),\(s_{i,j-1}\le s_{i,j}\) 同理可證。

\[\color{green}{ Q.E.D.} \]

關於實現

未完待續......

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