其實理論上算是第三次學了，寒假的時候就等於沒學

定義

起源是有些樹要動態加邊或者刪邊，所以這時候用到了 $lct$

我們把 $splay$ 放到外層作為外層樹，每個點被包含在一個單獨的 $splay$ 中

其實這裡主要是運用了 $splay$ 可以區間反轉的功能（當然可以 $fhq$ 但是複雜度多一個 $\log$）

同時在 $splay$ 裡面中序遍歷得到的點的深度是遞增的，也就是說不一定在當前 $splay$ 的根就是這個子樹裡面深度最淺的點

因此我們把邊就得拆成實邊和虛邊，這裡在同一個 $splay$ 裡面的邊都是實邊，而不在裡面的邊則是虛邊

這裡注意：父子連邊不變，不是說當前 $splay$

的根連向下個 $splay$ 的根來表示連邊

那麼就有一些定義

$fa[x]:$ $x$ 在 $splay$ 裡面的父親，不是原樹

$ls[x],rs[x]$ 在 $splay$ 裡面的左右兒子，真樹裡面的連邊都是靠 $fa[son]=x$ 來的

操作

access

聯通根到當前點的鏈

這個每個 $splay$ 跟著做就行了，每次把當前點幹到 $splay$ 的根，然後改兒子

這裡是把 $rs[fat]=now$ ，根據深度的原則不難得到

所以簡單的程式碼如下：

inline void access(int x){
	for(reg int y=0;x;x=fa[y=x]) splay(x),rs[x]=y,push_up(x);
    return ;
}

其實這裡是換了個更的方式：把更新兒子的步驟放到了上面，這裡被覆蓋的兒子的父親沒變，但是父子關係變成了虛邊

makeroot

指定根

很好說，直接打通鏈時候翻上去就行了，但是很坑的是這樣的話沒有深度保證

所以要翻轉整個當前 $splay$，打標記即可，和普通 $splay$ 沒有區別

inline void pushroot(int x){
	swap(ls[x],rs[x]); fl[x]^=1; 
    return ;
}
inline void makeroot(int x){
	access(x); splay(x); pushroot(x);
    return ;
}

findroot

找到原樹上的根

換到根之就找左兒子，也就是：

inline int findroot(int x){
    access(x); splay(x); 
    while(ls[x]) x=ls[x]; 
    return splay(x),x;//多splay來保證複雜度……
}

當然這樣寫是非常慢的，那麼特定場景下可以用並查集來進行替換和卡常

split

打通一條鏈，隨便欽定一個點為根然後連上就行了

inline void split(int x,int y){
    makeroot(x); access(y); splay(y); 
    return ;
}

然後直接查詢 $s[y]$ 就是這個路徑上面的資訊，需要理解一下為什麼這樣就能維護出來單獨的路徑

link

連線兩個點之間的邊

inline void link(int x,int y){
	make_root(x); if(findroot(y)!=x) fa[x]=y; 
    return ;
}

cut

斷開邊，先把一個點轉到必然是另一個的父親然後判斷合法性

也就是說：

inline void cut(int x,int y){
	make_root(x); 
    if(findroot(y)!=x||fa[y]!=x||ls[y]) return ;
    //第一個是不在一個樹上，findroot(y) 之後 x 是這個splay的根
    //如果y的父親不是x那麼必然沒有連邊，考慮findroot中的更改
    //如果有ls[y] 那麼就有越級父親
    rs[x]=0; fa[y]=0; push_up(x);
    return ;
}

這裡寫 $lct$ 的 $splay$ 和一般的不太一樣，具體如下：

$(1)$ 維護一個是不是當前splay的根的函式：

inline bool isroot(int x){return ls[fa[x]]!=x&&rs[fa[x]]!=x;}

$(2)$ $rotate$ 和 $splay$ 的時候記得判斷 $z=fa[fa[x]]$ 的情況，不能找到另一個splay上面

$(3)$ 下方 $makeroot$ 標記的時候要注意從上往下，原因可以手玩一下

這樣的話板子就隨便打了

功能

維護鏈上資訊

其實本質上就是 $split$ 一下，然後有各種打標記的方式

Luogu 1501

裸題，直接打標記就行了

Luogu 4332

顯然改變一個 $[n+1,3n]$ 的點的本質會修改一條鏈上的答案

肯定是臨界的會改，問題轉化成了維護鏈上最深的 $cnt[x]$ 不是 $1/2$ 的點的位置

打通一條鏈的操作就是 $access$ ，然後在平衡樹上二分

具體而言就是 $push\_up$ 維護幾個子樹面是不是都是 $1/2$ 即可

時間複雜度 $O(n\log^2 n)$

貌似有一個少 $\log$ 的寫法，就是記錄子樹裡面的最深 $val\neq 1/2$ 的點

如果修改值的話需要交換

這題寫的原則就是多 $push_up $

維護雙聯通分量/聯通性

Luogu2542

逆序之後考慮如何維護必經邊

這個必經邊容易讓人想到點雙，那麼考慮縮點

每次如果 $link$ 失敗了就刪掉環上的點，縮成一個新點，所有連的點都指向這個點

但是需要更改的是 $access$ 的時候是要跳 $find(fa[x])$ 的

維護生成樹或者樹邊資訊

邊權很難維護，如果按照一些樹題放到兒子上的話一變父子關係就廢掉了

所以考慮拆點，把邊權放到一個新的點上，因為比較優秀的編號方式，每個新點的 $id>n$

所以更改或者一些其他操作就好說了

link(e[i].id,e[i].x); link(e[i].id,e[i].y);
cur(e[i].id,e[i].x); cut(e[i].id,e[i].y);

NOI2014 魔法森林

看到是多維的先想降維，所以 $sort$ 掉 $a/b$

那麼然後的問題是如何維護一個用 $a$ 最小的生成樹

那麼每次加邊如果成環就斷掉環上最大的 $a$ 然後更新答案

為啥原來那麼菜還要去抄題解呀

維護虛子樹資訊

記 $s_i$ 表示虛子樹資訊，那麼不一樣的地方首先是 $access$

for(reg int y=x;x;x=fa[y=x]){
    splay(x); 
    s[x]-=s[rs[x]],si[x]+=rs[x];
	s[x]+=s[y],si[x]-=s[y];
    rs[x]=y;
}

然後 $link$ 的時候要先把 $y$ 整到根上面，防止祖先的資訊被記漏

inline void link(int x,int y){
    make_root(x); if(findroot(y)==x) return ;
    fa[x]=y; access(y); splay(y); si[y]+=s[x]; 
    push_up(y); //真的別忘記了多push_up
    return ;
}

BJOI2014 大融合

貌似線段樹合併隨便做？

如果 $lct$ 的話考慮如果 $split(x,y)$ 之後那麼有剩下的邊就是虛的了

那麼維護上 $s[x],si[x]$ 查詢的時候回答 $s[x]\times(s[y]-s[x])$

維護樹上染色聯通塊

SP16549

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