杜教篩

對於一個數論函式 \(f\) 我們希望求其字首和，
這時可以引出另一個數論函式 \(g\)

則我們可以得到： \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}g(d)f(\left \lfloor \frac{i}{d} \right \rfloor)=\sum_{i=1}^{n}g(i)S(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)\)

把第一個式子卷一下： \(\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)=\sum_{i=1}^{n}g(i)S(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)\)

那對於 \(S(n)\)

則我們可以得到杜教篩的最終式子：

\(S(n)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-\sum_{i=2}^{n}g(i)S(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)}{g(1)}\)

莫比烏斯函式字首和

因為我們有 \(\mu*I=\epsilon\)， 那麼令 \(g\) 為 \(I\)，直接套入公式就好了。

尤拉函式字首和

引入公式： \(\varphi*I=id\)。

這裡給出兩種證明方式：

1.

令 \(f=\varphi*I=\sum_{d|n}\varphi(d)\)

顯然積性函式的積為積性函式，所以 \(f\) 為積性函式。

令 \(n=\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}}\)

則 \(f(n)=\prod_{i=1}^{k}f(p_{i}^{a_{i}})\)

\(f(p^{k})=\sum_{d|p^{a}}\varphi(d)=\varphi(1)+\sum_{i=1}^{k}\varphi(p^{i})=\varphi(1)+\sum_{i=1}^{k}(p^{i}-p^{i-1})=p^{k}\)

則： \(f(n)=\prod_{i=1}^{k}f(p_{i}^{a_{i}})=\prod_{i=1}^{k}p^{a_{i}}=n=id(n)\)

2.

構造式子： \(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+...+\frac{n-1}{n}+\frac{n}{n}\)
對於每個分數，我們把他化簡成最簡分數形式
則對於每個分母 \(i\) 存在的次數為 \(\varphi(i)\) 次，
首先在這些分數中，分子是一定小於分母的，那如果 \(j\) 可以作為 \(i\) 的分子，那麼 \(i\) 一定與 \(j\) 互質

剩下的帶入公式就好了

參考文獻：
杜教篩-OI Wiki [https://oi-wiki.org/math/number-theory/du/]