圓方樹的定義

  圓方樹是由一個無向圖轉化出的樹形結構。轉化方法為：

• 所有原圖的點為“圓點”。
• 對於每個點雙連通分量：
  • 刪去點雙內部“圓點”間的連邊。
  • 新建點雙的代表點——“方點”。
  • 方點向點雙內的所有點連邊。

  舉個例子：

  觀察圖片，我們可以得到圓方樹的一些性質：

• 不存在相鄰的圓點或方點。
• 一個圓點同時隸屬於它所鄰接的所有方點所代表的點雙。可見所有非葉子圓點都是原圖的割點。
• 從圓點 \(u\) 到圓點 \(v\) 的樹上路徑所經過的圓點是原圖 \(u\) 到 \(v\) 的所有路徑一定經過的點。

圓方樹的構造

  既然跟點雙相關，那肯定是 \(\text{Tarjan}\)

  圓方樹的構造演算法實質上就是在求點雙的基礎上構建一個新圖。設當前結點為 \(u\)，若發現其兒子（DFS 樹上兒子）\(v\) 的 low[v]>=dfn[u]，那麼就知道 \(u\) 是一個割點或者是 DFS 樹根。我們不必對此加以區分，直接將 \(u\) 和新建的方點 \(w\) 連邊，然後 \(w\) 向所有退棧的點連邊，圓方樹就構造完成了。

實現

inline void Tarjan ( const int u, const int f ) {
	dfn[u] = low[u] = ++ dfc, stk[++ tp] = u;
	adj ( src, u, v ) if ( v ^ f ) { // 列舉原圖上u的臨界點，並保證其不是DFS樹上u的父親。
		if ( ! dfn[v] ) {
			Tarjan ( v, u ), chkmin ( low[u], low[v] );
			if ( low[v] >= dfn[u] ) {
				tre.add ( u, ++ snode ); // snode初值為n，用於計數新建結點。
				do tre.add ( snode, stk[tp] ); while ( stk[tp --] ^ v );
                                // 向每個退棧的點連邊。
			}
		} else chkmin ( low[u], dfn[v] );
	}
}
 

細節

  在運用圓方樹的過程中，我們往往需要在方點維護一些資訊。為了避免重複，我們一般在割點處單獨維護圓點資訊，而在方點中不考慮割點。（即在上文演算法中，結點 \(snode\) 不考慮 \(u\) 的資訊，只記錄 \(v\) 的資訊。）

圓方樹的運用

「BZOJ 3331」壓力

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  給定一個 \(n\) 個點 \(m\) 條邊的連通無向圖，並給出 \(q\) 個點對 \((u,v)\)，令 \(u\) 到 \(v\) 的路徑所必經的結點權值 \(+1\)。求最終每個結點的權值。

  \(n\le10^5\)，\(m,q\le2\times10^5\)

\(\mathcal{Solution}\)

  看到”必經之點“，應該考慮圓方樹。

  對於每個點對，直接在圓方樹上作差分，最後一遍 DFS 求每個圓點的子樹和即可。

  詳細題解：my solution。

「洛谷 P4320」道路相遇

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  給定一個 \(n\) 個點 \(m\) 條邊的連通無向圖，並給出 \(q\) 個點對 \((u,v)\)，詢問 \(u\) 到 \(v\) 的路徑所必經的結點個數。

  \(n,q\le5\times10^5\)，\(q\le\min\{\frac{n(n-1)}2,10^6\}\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  和上一道幾乎一樣。預處理圓方樹上每個點到根經過的圓點個數，然後求 LCA 計算答案。

  詳細題解：my solution。

「APIO 2018」「洛谷 P4630」鐵人兩項

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  給定一個 \(n\) 個點 \(m\) 條邊的無向圖（不保證聯通），求有序三元點對 \((s,c,f)\) 的個數，滿足 \(s,c,f\) 互不相同，且存在一條從 \(s\) 到 \(c\) 再到 \(f\) 的簡單路徑。

  \(n\le10^5\)，\(m\le2\times10^5\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  首先考慮這樣一個問題，若 \(s,c,f\) 在同一點雙中，是否一定滿足條件。

  答案是肯定的，這裡不細說。

  那麼如果固定 \(s,f\)，合法的 \(c\) 就可以在圓方樹 \(s\) 到 \(f\) 路徑上的所有圓點和所有方點所代表的圓點（除去 \(s,f\)）。這是因為 \(c\) 取在任意點雙內部，由我們的結論，都一定可以從某點進入點雙，經過 \(c\)，再從某點走出點雙。

  但簡單的計算會導致重複——一個圓點對多個方點有貢獻。

  舉個例子，對於 \(u-w-v\)，\(w\) 是圓點，\(u,v\) 是方點，如果我們單純地用點雙大小作為方點的權值，\(w\) 就會在 \(u\) 和 \(v\) 中分別計算一次。

  解決辦法很巧妙：將圓點的權值設為 \(-1\)。考慮 \(s\) 到 \(f\) 的路徑必然是”圓-方-圓-……-圓-方-圓“，兩個端點的 \(-1\)，去除了 \(s\) 和 \(f\) 的貢獻，中間的 \(-1\) 去除了在左右的”方“中重複的貢獻。那麼，合法的 \(c\) 的數量就是 \(s\) 到 \(f\) 的樹上路徑權值之和。

  於是，相當於求樹上點對的路徑權值和。反過來，固定 \(c\)，維護子樹資訊求出 \((s,f)\) 的方案數，計算 \(c\) 的貢獻即可。

  詳細題解：my solution。

「CF 487E」Tourists

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  維護一個 \(n\) 個點 \(m\) 條邊的簡單無向連通圖，點有點權。\(q\) 次操作：

• 修改單點點權。
• 詢問兩點所有可能路徑上點權的最小值。

  \(n,m,q\le10^5\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  怎麼可能維護圖嘛，肯定是維護圓方樹咯！

  一個比較 naive 的想法是，每個方點維護其鄰接圓點的最小值，樹鏈剖分處理詢問。

  不過修改的複雜度會由於菊花退化：修改”花蕊“的圓點，四周 \(\mathcal O(n)\) 個方點的資訊都需要修改。

  聯想到 array 這道題，我們嘗試”弱化“方點所維護的資訊。每個方點，維護其圓方樹上兒子們的點權最小值。那麼每次修改圓點，至多就只有其父親需要修改資訊了。

  於是，每個方點用 std::multiset 或者常見的雙堆 trick 維護最小值資訊（推薦後者，常數較小），再用一樣的樹剖處理詢問即可。

  詳細題解：my solution。