「四邊形不等式優化」學習筆記

定義

區間包含單調性 ：如果 $ \forall l \le l' \le r' \le r $ ，都有 \(w(l',r')\le w(l,r)\) ，那麼稱函式 \(w\) 對於區間包含關係具有單調性。

四邊形不等式 ： 如果 $ \forall l_1 \le l_2 \le r_1 \le r_2 $ ，都有 \(w(l_1,r_1) + w(l_2,r_2) \le w(l_1,r_2) + w(l_2,r_1)\) ，那麼稱函式 \(w\) 滿足四邊形不等式，（等號永遠取等則成為四邊形恆等式）。

區間DP（2D1D）

轉移式形如：

\[\large f_{l,r}= \min_{k=l}^{k<r} \left( f_{l,k} + f_{k+1,r} \right) + w(l,r) \]

一些定理

引理1 ：如果 \(w(l,r)\) 滿足區間包含單調性且四邊形不等式，那麼 \(f_{l,r}\) 也滿足四邊形不等式。

證明：

對 \(r_2 - l_1\) 的長度使用歸納法， \(l_1 = l_2\) 或 \(r_1 = r_2\) 時顯然成立。

設 \(u\) 為 \(f_{l_1,r_2}\) 的最小最優決策點， \(v\) 為 \(f_{l_2,r_1}\) 的最小最優決策點。

發現當 \(l_2=r_1\)​ 時 \(v\) 是沒有意義的，所以提出來特別考慮。

如果 \(l_1 < l_2 = r_1 < r_2\)​ ，那麼

​ 如果 \(u < r_1\)

​ ，則

\[\large f_{l_1,r_1} \le f_{l_1,u} + f_{u+1,r_1} + w(l_1,r_1)\\ \large \text{又由歸納假設 } f_{u+1,r_1} + f_{l_2,r_2} \le f_{u+1,r_2} + f_{l_2,r_1} \\ \large \text{且 } w(l_1,r_1) \le w(l_1,r_2) \\ \large \text{所以有 } f_{l_1,r_1} + f_{l_2,r_2} \le f_{l_2,r_1} + f_{l_1,u} + f_{u+1,r_2} + w(l_1,r_2)\\ \large = f_{l_2,r_1} + f_{l_1,r_2} \]

​ 如果 \(r_1 \le u\)

，同理。

如果 \(l_1 < l_2 < r_1 < r_2\) ，就不需要用到「區間包含單調性」這一條件了，證明類似。

定理1 ： 如果 \(f_{l,r}\) 滿足四邊形不等式，設 \(g_{l,r}\) 為 \(f_{l,r}\) 的最小最優決策點，那麼有

\[\large g_{l,r-1} \le g_{l,r} \le g_{l+1,r} (l+1<r) \]

未完成