一、時間複雜度

「大O符號表示法」，即 T(n) = O(f(n))

讀音：奧麥克若

我們先來看個例子：

for(i=1; i<=n; ++i)
{
   j = i;
   j++;
}

通過「 大O符號表示法 」，這段程式碼的時間複雜度為：O(n) ，為什麼呢?

在 大O符號表示法中，時間複雜度的公式是： T(n) = O( f(n) )，其中f(n) 表示每行程式碼執行次數之和，而 O 表示正比例關係，這個公式的全稱是：演算法的漸進時間複雜度。

我們繼續看上面的例子，假設每行程式碼的執行時間都是一樣的，我們用 1顆粒時間 來表示，那麼這個例子的第一行耗時是1個顆粒時間，第三行的執行時間是 n個顆粒時間，第四行的執行時間也是 n個顆粒時間（第二行和第五行是符號，暫時忽略），那麼總時間就是 1顆粒時間 + n顆粒時間 + n顆粒時間 ，即 (1+2n)個顆粒時間，即： T(n) = (1+2n)*顆粒時間，從這個結果可以看出，這個演算法的耗時是隨著n的變化而變化，因此，我們可以簡化的將這個演算法的時間複雜度表示為：T(n) = O(n)

為什麼可以這麼去簡化呢，因為大O符號表示法並不是用於來真實代表演算法的執行時間的，它是用來表示程式碼執行時間的增長變化趨勢的。

所以上面的例子中，如果n無限大的時候，T(n) = time(1+2n)中的常量1就沒有意義了，倍數2也意義不大。因此直接簡化為T(n) = O(n) 就可以了。

常見的時間複雜度量級有：

• 常數階O(1)
• 對數階O(logN)
• 線性階O(n)
• 線性對數階O(nlogN)
• 平方階O(n²)
• 立方階O(n³)
• K次方階O(n^k)
• 指數階(2^n)

上面從上至下依次的時間複雜度越來越大，執行的效率越來越低。

1.對數階O(logN)

還是先來看程式碼：

int i = 1;
while(i<n)
{
    i = i * 2;
}
 

從上面程式碼可以看到，在while迴圈裡面，每次都將 i 乘以 2，乘完之後，i 距離 n 就越來越近了。我們試著求解一下，假設迴圈x次之後，i 就大於 2 了，此時這個迴圈就退出了，也就是說 2 的 x 次方等於 n，那麼 x = log2^n
也就是說當迴圈 log2^n 次以後，這個程式碼就結束了。因此這個程式碼的時間複雜度為：O(logn)

2。線性對數階O(nlogN)

線性對數階O(nlogN) 其實非常容易理解，將時間複雜度為O(logn)的程式碼迴圈N遍的話，那麼它的時間複雜度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)。

就拿上面的程式碼加一點修改來舉例：

for(m=1; m<n; m++)
{
    i = 1;
    while(i<n)
    {
        i = i * 2;
    }
}
 

二、空間複雜度

既然時間複雜度不是用來計算程式具體耗時的，那麼我也應該明白，空間複雜度也不是用來計算程式實際佔用的空間的。

空間複雜度是對一個演算法在執行過程中臨時佔用儲存空間大小的一個量度，同樣反映的是一個趨勢，我們用 S(n) 來定義。

空間複雜度比較常用的有：O(1)、O(n)、O(n²)，我們下面來看看：

1. 空間複雜度 O(1)

如果演算法執行所需要的臨時空間不隨著某個變數n的大小而變化，即此演算法空間複雜度為一個常量，可表示為 O(1)
舉例：

int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;

程式碼中的 i、j、m 所分配的空間都不隨著處理資料量變化，因此它的空間複雜度 S(n) = O(1)