如圖，在正方體 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 中，\(M,N\) 分別是稜 \(AB,BB_1\) 的中點，點 \(P\) 在對角線 \(CA_1\) 上運動. 當 \(\triangle PMN\) 的面積最小時，點 \(P\) 的位置是 \((\qquad)\)

A. 線段 \(CA_1\) 的三等分點，且靠近 \(A_1\)

B. 線段 \(CA_1\) 的中點

C. 線段 \(CA_1\) 的三等分點，且靠近點 \(C\)

D. 線段 \(CA_1\) 的四等分點，且靠近點 \(C\)

解析：

要使 \(\triangle PMN\) 的面積最小，則需點 \(P\) 到直線 \(MN\)

連線 \(A_1B\) 交 \(MN\) 於點 \(Q\) ，過點 \(Q\) 作 \(QP'\perp A_1C\) ，交 \(A_1C\) 於點 \(P'\) ，因為 \(MN\perp A_1B\) ，\(MN\perp BC\) ，所以 \(MN\perp\) 平面 \(A_1BC\) ，所以 \(MN\perp QP'\) ，又 \(QP'\perp A_1C\) ，所以 \(|QP'|\) 為異面直線 \(MN,A_1C\) 之間的最小距離。設正方體稜長為 \(1\) ，求得

易知 \(\triangle A_1QP'\sim\triangle A_1CB\)

解得 \(x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) ，所以當點 \(P\) 在點 \(P'\) 處（即 \(A_1C\) 中點）時，\(\triangle PMN\) 的面積最小.

答案：B