三角形的費馬點（即托裡拆利點）
阿新 • • 發佈：2021-10-01
Q:給定三角形 \(\triangle ABC\)，用尺規作圖作出三角形內一點 \(D\) 使得 \(AD+BD+CD\) 取到最小值。
A:
若三角形三個角均小於 \(120^{\circ}\)：
則將 \(\triangle ACD\) 繞點 \(A\) 逆時針旋轉 \(60^{\circ}\) 得到 \(\triangle AC'D'\)。
再連結 \(DD'\) 和 \(BC'\)。
發現 \(AD+BD+CD=DD'+BD+C'D'\geqslant BC'\)（證明留給讀者）
所以當 \(B,D,D',C'\) 四點共線時 \(AD+BD+CD\) 取最小值。
顯然
\[\begin{cases}\angle ADC=\angle AD'C'=120^{\circ} \\ \angle ADB=120^{\circ} \\ \angle BDC=120^{\circ}\end{cases} \]尺規作圖輕鬆解決（分別以三邊中一邊，向三角形外作正三角形，如圖相連，交點即為 \(D\)）。
若三角形有個角不小於 \(120^{\circ}\)：
則 \(D\) 與那個不小於 \(120^{\circ}\) 的角的頂點重合（證明略）。
本文作者為小蒟蒻：zhangshaojia
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