通俗易懂的向量膜法

向量，事有方向而起點可以任意平移的線段。

向量的座標表示：令起點為\((x1,y1)\)，終點為\((x2,y2)\)，則向量 \(=(x2-x1,y2-y1)\)。這樣是有原因的，但是今天不說。

兩點之間構成的向量記為 \(\overrightarrow{AB}\)，向量 \(p\) 長度記為\(|p|\)。

先說公式：

對於\(\triangle ABC\)，我們定義向量\(p_1=\overrightarrow{AB}\)，座標\((x1,y1)\)，\(p_2=\overrightarrow{AC}\)，座標\((x2,y2)\)

\(S_{\triangle ABC}=\dfrac{|x1y2-x2y1|}{2}\)

證明：（前置知識：餘弦定理，三角函式性質）

我們拿這個 \(p_1,p_2\) 來說。

定義點積為 \(p_1·p_2\)，幾何意義：\(|p_1|\times|p_2|\times\cos<p_1,p_2>\)，是一個數。

定理：\(p_1·p_2=x1x2+y1y2\)。

我們將他們的起點平移到原點來研究。

根據餘弦定理有：

\(|p_1|^2+|p_2|^2-2|p_1|\times|p_2|\times \cos<p_1,p_2>\ \ =(\sqrt{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2})^2\)（第三邊）

\(x1^2+y1^2+x2^2+y2^2-(x1-x2)^2-(y1-y2)^2=2|p_1|\times|p_2|\times\cos<p_1,p_2>\)

\(x1^2+y1^2+x2^2+y2^2-(x1^2+x2^2-2x1x2)-(y1^2+y2^2-2y1y2)=2|p_1|\times|p_2|\times\cos<p_1,p_2>\)

化簡得

\(2x1x2+2y1y2=2p_1·p_2\)

證畢。

定義叉積為 \(p_1\times p_2\)。幾何意義：\(|p_1|\times |p_2|\times \sin<p_1,p_2>\)，他的絕對值也就是\(2S_{\triangle ABC}\)

證：\(p_1\times p_2=x1y2-x2y1\)

\(p_1\times p_2=\sqrt{|p_1|^2\times|p_2|^2\times(1-\cos^2<p_1,p_2>)}\)

\(=\sqrt{|p_1|^2\times|p_2|^2-(|p_1|\times|p_2|\times\cos<p_1,p_2>)^2}\)

\(=\sqrt{(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)-(x1x2+y1y2)^2}\)

\(=\sqrt{x1^2x2^2+x1^2y2^2+y1^2x2^2+y1^2y2^2-x1^2x2^2-y1^2y2^2-2x1x2y1y2}\)

\(=\sqrt{y1^2x2^2+y2^2x1^2-2x1y2x2y2}\)

\(=\sqrt{(x1y2-x2y1)^2}\)

\(=|x1y2-x2y1|=2S_{\triangle ABC}\)