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向量積

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本詞條由“科普中國”科學百科詞條編寫與應用工作專案稽核 。 向量積，數學中又稱外積、叉積，物理中稱矢積、叉乘，是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個向量而不是一個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量和垂直。其應用也十分廣泛，通常應用於物理學光學和計算機圖形學中。

中文名

向量積

外文名

cross product

別名

向量積、矢積、叉乘、外積

表示式

a×b

應用學科

數學，物理，力學

領域範圍

解析幾何

目錄

1. 1基本概念
2. ▪表示方法
3. ▪定義
4. ▪座標運算
5. ▪證明

1. ▪與數量積的區別
2. 2性質
3. ▪幾何意義及其運用
4. ▪代數規則
5. ▪拉格朗日公式

1. ▪矩陣形式
2. ▪高維情形
3. 3應用

基本概念

編輯語音

表示方法

兩個向量a和b的叉積寫作a×b（有時也被寫成a∧b，避免和字母x混淆）。[1]

定義

向量積可以被定義為： 模長：（在這裡θ表示兩向量之間的夾角（共起點的前提下）（0°≤θ≤180°），它位於這兩個向量所定義的平面上。） 方向：a向量與b向量的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直，且遵守右手定則。（一個簡單的確定滿足“右手定則”的結果向量的方向的方法是這樣的：若座標系是滿足右手定則的，當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時，豎起的大拇指指向是c的方向。） 也可以這樣定義（等效）： 向量積|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b> 即c的長度在數值上等於以a，b，夾角為θ組成的平行四邊形的面積。 而c的方向垂直於a與b所決定的平面，c的指向按右手定則從a轉向b來確定。 *運算結果c是一個偽向量。這是因為在不同的座標系中c可能不同。[1]

座標運算

設 。i，j，k分別是X，Y，Z軸方向的單位向量，則[1]： a×b=（ ）i+（ ）j+（ ）k，為了幫助記憶，利用三階行列式， 寫成det 利用三階行列式，寫成det

證明

為了更好地推導，我們需要加入三個軸對齊的單位向量i，j，k。 i，j，k滿足以下特點： i=jxk；j=kxi；k=ixj； kxj=–i；ixk=–j；jxi=–k； ixi=jxj=kxk=0；（0是指0向量） 由此可知，i，j，k是三個相互垂直的向量。它們剛好可以構成一個座標系。 這三個向量的特例就是i=（1，0，0）j=（0，1，0）k=（0，0，1）。 對於處於i，j，k構成的座標系中的向量u，v我們可以如下表示： u=Xu*i+Yu*j+Zu*k； v=Xv*i+Yv*j+Zv*k； 那麼uxv=（Xu*i+Yu*j+Zu*k）x（Xv*i+Yv*j+Zv*k） =Xu*Xv*（ixi）+Xu*Yv*（ixj）+Xu*Zv*（ixk）+Yu*Xv*（jxi）+Yu*Yv*（jxj）+Yu*Zv*（jxk）+Zu*Xv*（kxi）+Zu*Yv*（kxj）+Zu*Zv*（kxk） 由於上面的i，j，k三個向量的特點，所以，最後的結果可以簡化為 uxv=（Yu*Zv–Zu*Yv）*i+（Zu*Xv–Xu*Zv）*j+（Xu*Yv–Yu*Xv）*k。[1]

與數量積的區別

注：向量積≠向量的積（向量的積一般指點乘） 一定要清晰地區分開向量積（矢積）與數量積（標積）。見下表。[1]

向量積（矢積）與數量積（標積）的區別

名稱	標積/內積/數量積/點積	矢積/外積/向量積/叉積
運算式（a，b和c粗體字，表示向量）	a·b=|a||b|·cosθ	a×b=c，其中|c|=|a||b|·sinθ，c的方向遵守右手定則
幾何意義	向量a在向量b方向上的投影與向量b的模的乘積	c是垂直a、b所在平面，且以|b|·sinθ為高、|a|為底的平行四邊形的面積
運算結果的區別	標量（常用於物理）/數量（常用於數學）	向量（常用於物理）/向量（常用於數學）

性質

編輯語音

幾何意義及其運用

叉積的長度|a×b|可以解釋成這兩個叉乘向量a，b共起點時，所構成平行四邊形的面積。據此有：混合積[abc]=（a×b）·c可以得到以a，b，c為稜的平行六面體的體積。[1]

代數規則

1、反交換律：a×b=-b×a 2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。 3、與標量乘法相容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。 4、不滿足結合律，但滿足雅可比恆等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。 5、分配律，線性性和雅可比恆等式別表明：具有向量加法和叉積的R3構成了一個李代數。 6、兩個非零向量a和b平行，當且僅當a×b=0。[1]

拉格朗日公式

證明過程 這是一個著名的公式，而且非常有用： （a×b）×c=b（a·c）-a（b·c） a×（b×c）=b（a·c）-c（a·b） 證明過程如下： 二重向量叉乘化簡公式及證明 可以簡單地記成“BAC-CAB”。這個公式在物理上簡化向量運算非常有效。需要注意的是，這個公式對微分運算元不成立。 這裡給出一個和梯度相關的一個情形： 這是一個霍奇拉普拉斯運算元的霍奇分解的特殊情形。 另一個有用的拉格朗日恆等式是： 這是一個在四元數代數中範數乘法|vw|=|v||w|的特殊情形。[2]

矩陣形式

給定直角座標系的單位向量i，j，k滿足下列等式： i×j=k； j×k=i； k×i=j； 通過這些規則，兩個向量的叉積的座標可以方便地計算出來，不需要考慮任何角度：設 a=[a1，a2，a3]=a1i+a2j+a3k； b=[b1，b2，b3]=b1i+b2j+b3k； 則a×b=[a2b3-a3b2，a3b1-a1b3，a1b2-a2b1]。 叉積也可以用四元數來表示。注意到上述i，j，k之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言，若將向量[a1，a2，a3]表示成四元數a1i+a2j+a3k，兩個向量的叉積可以這樣計算：計算兩個四元數的乘積得到一個四元數，並將這個四元數的實部去掉，即為結果。更多關於四元數乘法，向量運算及其幾何意義請參看四元數（空間旋轉）。[2]

高維情形

七維向量的叉積可以通過八元數得到，與上述的四元數方法相同。 七維叉積具有與三維叉積相似的性質： 雙線性性：x×（ay+bz）=ax×y+bx×z；（ay+bz）×x=ay×x+bz×x； 反交換律：x×y+y×x=0； 同時與x和y垂直：x·（x×y）=y·（x×y）=0； 拉格朗日恆等式：|x×y|²=|x|²|y|²-（x·y）²； 不同於三維情形，它並不滿足雅可比恆等式：x×（y×z）+y×（z×x）+z×（x×y）≠0。[2]

應用

編輯語音 在物理學光學和計算機圖形學中，叉積被用於求物體光照相關問題。 求解光照的核心在於求出物體表面法線，而叉積運算保證了只要已知物體表面的兩個非平行向量（或者不在同一直線的三個點），就可依靠叉積求得法線。[2]