Codeforces 1109F - Sasha and Algorithm of Silence's Sounds（LCT）
阿新 • • 發佈：2021-10-13
LCT+two pointers
講個笑話，這題是 2020.10.13 dxm 講題時的一道例題，而我剛好在一年後的今天，也就是 2021.10.13 學 LCT 時做到了這道題。。。。。。
首先考慮一個區間的匯出子圖是一棵樹的充要條件。顯然這些點組成的邊集不能有環，其次這些點組成的匯出子圖必須滿足 \(|V|-|E|=1\)，而對於一個不存在環的圖必然有 \(|V|-|E|\ge 1\)，因此這兩個條件加在一起就組成了一個區間符合條件的充要條件。
考慮如何維護之，注意到當我們固定了左端點 \(l\)，那麼一個右端點符合“匯出子圖不存在環”的條件，當且僅當右端點小於一個固定值 \(R_l\)
接下來如何維護 \(|V|-|E|=1\) 這個條件，我們考慮建一棵線段樹，下標為 \(r\) 的位置維護當前 \([l,r]\) 組成的匯出子圖中，\(|V|-|E|\) 的值。當我們向右移動左端點 \(l\) 時，\(|V|-|E|\) 的變化都可以表示為一段字尾的值加上 \(+1\) 或 \(-1\) 的形式，可以區間賦值解決。而每次查詢等價於查詢一個區間中 \(1\)
時間複雜度 \(\mathcal O(nm\log nm)\)
然後就是實現的事情了，碼量可能略有點大，使用 namespace 會使程式碼更具有可讀性（
const int MAXN=2000; const int MAXM=2e5; const int dx[]={1,0,-1,0}; const int dy[]={0,1,0,-1}; int n,m,a[MAXN+5][MAXN+5];pii pos[MAXM+5]; int getid(int x,int y){return (x-1)*m+y;} struct node{int ch[2],f,rev_lz;} s[MAXM+5]; int ident(int k){return (s[s[k].f].ch[0]==k)?0:((s[s[k].f].ch[1]==k)?1:-1);} void connect(int k,int f,int op){s[k].f=f;if(~op) s[f].ch[op]=k;} void rotate(int x){ int y=s[x].f,z=s[y].f,dx=ident(x),dy=ident(y); connect(s[x].ch[dx^1],y,dx);connect(y,x,dx^1);connect(x,z,dy); } void tag(int k){swap(s[k].ch[0],s[k].ch[1]);s[k].rev_lz^=1;} void pushdown(int k){ if(s[k].rev_lz){ if(s[k].ch[0]) tag(s[k].ch[0]); if(s[k].ch[1]) tag(s[k].ch[1]); s[k].rev_lz=0; } } void pushall(int k){if(~ident(k)) pushall(s[k].f);pushdown(k);} void splay(int k){ pushall(k); while(~ident(k)){ if(ident(s[k].f)==-1) rotate(k); else if(ident(k)==ident(s[k].f)) rotate(s[k].f),rotate(k); else rotate(k),rotate(k); } } void access(int k){ int pre=0; for(;k;pre=k,k=s[k].f) splay(k),s[k].ch[1]=pre; } void makeroot(int k){access(k);splay(k);tag(k);} int findroot(int k){ access(k);splay(k); while(s[k].ch[0]) pushdown(k),k=s[k].ch[0]; splay(k);return k; } bool link(int x,int y){ makeroot(x); if(findroot(y)==x) return 0; // printf("link %d %d\n",x,y); s[x].f=y;return 1; } void split(int x,int y){makeroot(x);access(y);splay(y);} void cut(int x,int y){ makeroot(x); if(findroot(y)!=x) return; if(s[y].f!=x||s[y].ch[0]) return; // printf("cut %d %d\n",x,y); s[y].f=s[x].ch[1]=0; } bool chkcon(int x,int y){makeroot(x);return (findroot(y)==x);} bool vis[MAXM+5]; int cnt[MAXM+5]; void calc_ini(){//calculate how many edges are there in the induces subgraph of 1~i for(int i=1;i<=n*m;i++){ cnt[i]=cnt[i-1];int x=pos[i].fi,y=pos[i].se; for(int d=0;d<4;d++){ int nx=x+dx[d],ny=y+dy[d]; if(nx<1||nx>n||ny<1||ny>m) continue; if(vis[a[nx][ny]]) cnt[i]++; } vis[i]=1; } } struct dat{ int mn,cnt; dat(int _mn=0,int _cnt=0):mn(_mn),cnt(_cnt){} dat operator +(const dat &rhs){ dat res;res.mn=min(mn,rhs.mn); if(res.mn==mn) res.cnt+=cnt; if(res.mn==rhs.mn) res.cnt+=rhs.cnt; return res; } }; namespace segtree{ struct node{int l,r,lz;dat v;} s[MAXM*4+5]; void pushup(int k){s[k].v=s[k<<1].v+s[k<<1|1].v;} void build(int k,int l,int r){ s[k].l=l;s[k].r=r;if(l==r) return s[k].v=dat(l-::cnt[l],1),void(); int mid=l+r>>1;build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r);pushup(k); } void tag(int k,int v){s[k].v.mn+=v;s[k].lz+=v;} void pushdown(int k){if(s[k].lz) tag(k<<1,s[k].lz),tag(k<<1|1,s[k].lz),s[k].lz=0;} void modify(int k,int l,int r,int v){ if(l<=s[k].l&&s[k].r<=r) return tag(k,v),void(); pushdown(k);int mid=s[k].l+s[k].r>>1; if(r<=mid) modify(k<<1,l,r,v); else if(l>mid) modify(k<<1|1,l,r,v); else modify(k<<1,l,mid,v),modify(k<<1|1,mid+1,r,v); pushup(k); } dat query(int k,int l,int r){ if(l<=s[k].l&&s[k].r<=r) return s[k].v; pushdown(k);int mid=s[k].l+s[k].r>>1; if(r<=mid) return query(k<<1,l,r); else if(l>mid) return query(k<<1|1,l,r); else return query(k<<1,l,mid)+query(k<<1|1,mid+1,r); } } int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++){ scanf("%d",&a[i][j]); pos[a[i][j]]=mp(i,j); } calc_ini();memset(vis,0,sizeof(vis)); segtree::build(1,1,n*m);ll res=0; for(int l=1,r=1;l<=n*m;l++){ while(r<=n*m){ bool flg=1;int x=pos[r].fi,y=pos[r].se; for(int d=0;d<4;d++){ int nx=x+dx[d],ny=y+dy[d]; if(nx<1||nx>n||ny<1||ny>m) continue; if(vis[a[nx][ny]]) flg&=link(getid(x,y),getid(nx,ny)); } if(!flg){ for(int d=0;d<4;d++){ int nx=x+dx[d],ny=y+dy[d]; if(nx<1||nx>n||ny<1||ny>m) continue; cut(getid(x,y),getid(nx,ny)); } break; } vis[r]=1;r++; } //printf("%d %d\n",l,r); dat d=segtree::query(1,l,r-1); if(d.mn==1) res+=d.cnt; vis[l]=0;int x=pos[l].fi,y=pos[l].se; for(int d=0;d<4;d++){ int nx=x+dx[d],ny=y+dy[d]; if(nx<1||nx>n||ny<1||ny>m) continue; if(a[nx][ny]>l) segtree::modify(1,a[nx][ny],n*m,1); cut(getid(x,y),getid(nx,ny)); } segtree::modify(1,l,n*m,-1); } printf("%lld\n",res); return 0; } /* 2 3 1 2 3 4 5 6 */