正題

題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1153F

題目大意

在有\(n\)個區間的左右端點在\([0,l)\)範圍內隨機，求被至少\(k\)個區間覆蓋的期望長度。

\(1\leq n,k\leq 2000,1\leq l\leq 10^9\)

解題思路

長度為\(l\)上的數軸上\(2\times n\)個隨機點的話期望距離都是\(\frac{l}{2n+1}\)。

所以我們只需要考慮期望有多少個相鄰點對之間被\(k\)個區間覆蓋然後再乘上上面那個長度就行了。

然後考慮\(dp\)，設\(f_{i,j}\)表示現在到第\(i\)個端點，前面有\(j\)個區間延伸過來，之後還剩\(n-j-\frac{i-j}{2}\)

然後每次轉移完加上不小於\(k\)個區間延伸到下一個的概率即可。

時間複雜度：\(O(nk)\)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=4100,P=998244353;
ll n,k,l,ans,inv[N],f[N][N];
signed main()
{
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&l);
	inv[1]=1;
	for(ll i=2;i<N;i++)
		inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;
	f[0][0]=1;
	for(ll i=0;i<2*n;i++){
		for(ll j=0;j<=min(i,n);j++){
			if((i-j)&1)continue;
			ll w=n-j-(i-j)/2;
			if(j)(f[i+1][j-1]+=f[i][j]*j%P*inv[w*2+j]%P)%=P;
			(f[i+1][j+1]+=f[i][j]*w*2ll%P*inv[w*2+j]%P)%=P;
		}
		for(ll j=k;j<=min(i,n);j++)
			(ans+=f[i][j])%=P;
	}
	for(ll j=k;j<=n;j++)
		(ans+=f[2*n][j])%=P;
	printf("%lld\n",ans*l%P*inv[2*n+1]%P);
	return 0;
}