正題

題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1553H

題目大意

給出\(n\)個在\([0,2^n)\)範圍內的數字序列\(a\)。

對於每個\(x\in[0,2^n)\)求

\(2\leq n\leq 2^k,1\leq k\leq 19\)

解題思路

一個很妙的想法，考慮一個數字\(a\)與\(x\)有最多隻有前\(d\)位不同的情況，記答案為\(f_{x,d}\)。

考慮這個答案的性質，對於\(x\)找一個一個與它恰好第\(d\)位不同的\(y\)考慮轉移，首先顯然是從\(min\{f_{x,d-1},f_{y,d-1}\}\)

但是還有一種轉移有可能是在\(x\)的集合和\(y\)的集合中各自選一個數字，我們可以各自找到兩個分別在\(x/y\)的集合中的數字\(a_i\ xor\ x\)最大並且\(a_j\ xor\ y\)最小轉移到\(x\)即可。

考慮如何快速找這兩個數字，設\(mx_{x,d},mi_{x,d}\)表示上述所示情況下\(x\ xor\ a\)的最大值/最小值，這兩個的轉移十分顯然。

時間複雜度：\(O(2^kk)\)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1<<19;
int n,k,mx[N],mi[N],f[N];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&k);
	memset(mx,0xcf,sizeof(mx));
	memset(mi,0x3f,sizeof(mi));
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	for(int i=1,x;i<=n;i++){
		scanf("%d",&x);
		mx[x]=mi[x]=0;
	}
	int MS=(1<<k);
	for(int i=0;i<k;i++){
		for(int s=MS-1;s>=0;s--)
			if((s>>i)&1){
				int t=s^(1<<i);
				f[s]=f[t]=min(f[s],f[t]);
				f[s]=min(f[s],mi[t]+(1<<i)-mx[s]);
				f[t]=min(f[t],mi[s]+(1<<i)-mx[t]);
				int mxt=mx[t],mit=mi[t];
				int mxs=mx[s],mis=mi[s];
				mx[s]=max(mx[s],mxt+(1<<i));
				mi[s]=min(mi[s],mit+(1<<i));
				mx[t]=max(mx[t],mxs+(1<<i));
				mi[t]=min(mi[t],mis+(1<<i));
			}
	}
	for(int i=0;i<MS;i++)
		printf("%d ",f[i]);
	return 0;
}