leetcode-421 陣列中兩個數的最大異或值 字首樹

1. 題目

給你一個整數陣列 nums ，返回 nums[i] XOR nums[j] 的最大運算結果，其中 0 ≤ i ≤ j < n 。

2. 思路

• 暴力解法通過雙層for迴圈求出最大的異或結果，時間複雜度為\(O(n^2)\) 超時

• 字首樹

  一個整數的二進位制串只有0和1，因此可以將所有位放在一顆字首樹中，在一棵字首樹中查詢某個樹的複雜度為O(logn),因此已知一棵字典樹，查詢樹中與它最大異或值最大的複雜度為O(logn)

  求異或值的最大值，應該讓該結果中的每一個儘可能為1

  查詢過程：

  輸入數字不超過2^31，因此遍歷該數的每一位，

  • 如果該位為1，則在樹中選擇的節點為0，建立字首樹時，0作為左樹，1作為右數，如果沒有左樹，則選擇右樹

  • 如果該位為0，則在樹中選擇右樹，若沒有右樹則選擇左樹

    在查詢時，如果選擇的時不同的值，即\(0\bigoplus 1\),此時的異或結果為\(x=x*2+1\)，增加了一位，且末位為1，

    若是\(0\bigoplus 0\)和\(1\bigoplus 1\)，此時的\(x=x*2\)

  如圖，對於25，和字首樹相比，第一位時1，則在字首樹第一層選擇（0），第二位是1，字首樹中選擇（0，0），第三位時0，字首樹中選擇（0，0，1），第四位是0，字首樹中第四位本應選擇1，但此時節點只有左節點，因此字首樹中選擇（0，0，1，1），第五位是1，字首樹中選擇（0，0，1，0，1）

3. Code

• 暴力解法

  class Solution:
      def findMaximumXOR(self, nums: List[int]) -> int:
          res=float("-inf")
          length=len(nums)
          for i in range(length):
              for j in range(i,length):
                  res=max(res,nums[i]^nums[j])
          return res
  

• 字首樹

  class TreeNode:
      def __init__(self,left=None, right=None):
          self.left = left
          self.right = right
  class Solution:
      def findMaximumXOR(self, nums: List[int]) -> int:
          root=TreeNode() 
          def add(n):
              cur=root
              for k in range(30,-1,-1):
                  bit=(n>>k)&1
                  if bit==0:
                      if not cur.left:
                          cur.left=TreeNode()
                      cur=cur.left
                  else:
                      if not cur.right:
                          cur.right=TreeNode()
                      cur=cur.right
          def check(num):
              cur=root
              x=0
              for i in range(30,-1,-1):
                  bit=(num>>i)&1
                  if bit==0:
                      if cur.right:
                          cur=cur.right
                          x=x*2+1
                      else:
                          cur=cur.left
                          x*=2
                  else:
                      if cur.left:
                          cur=cur.left
                          x=x*2+1
                      else:
                          cur=cur.right
                          x*=2
              return x
          x=0
          for i in range(1,len(nums)):
              add(nums[i-1])
              x=max(x,check(nums[i]))
          return x