• 10.21：整理了一部分複變函式內容

1. 複變函式運算

1. 表示法

1. 代數表示

   \(z=x+iy\)

2. 三角表示

   令\(\theta\)為\(z\)的一個輻角，有：

   \[\begin{cases} x=rcos\theta\\ y=rsin\theta \end{cases} \]

   得：\(z=r(cos\theta+isin\theta)\)

3. 指數表示

   由尤拉公式\(e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta\)得：

   \(z=re^{i\theta}\)

2. 共軛性質

1. \(\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}\)
2. \(\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1}\ \overline{z_2}\)
3. \(\overline{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\)
4. \(z\overline{z}=[Re(z)]^2+[Im(z)]^2\)
5. \(z+\overline{z}=2Re(z)\)
6. \(z-\overline{z}=2iIm(z)\)

3. 幾何性質

1. \(|x|\leq|z|,|y|\leq|z|\)
2. \(|z|\leq|x|+|y|\)
3. \(|z|=|\overline{z}|\)
4. \(z\overline{z}=x^2+y^2=|z|^2\)
5. \(|z_1+ z_2|\leq|z_1|+|z_2|,|z_1-z_2|\geq||z_1|-|z_2||\)

4. 基本運算

1. 幅角：\(Arg,arg\)

   正實軸到向量\(\overrightarrow{OP}\)的角的弧度數稱為幅角，記作\(Arg\)，有無窮個值，都滿足\(tan(Argz)=\frac{y}{x}\)

   在\((-\pi,\pi]\)內的幅角稱為幅角主值，記作\(arg\)

   \[argz= \begin{cases}{} arctan{\frac{y}{x}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x>0\\ arctan{\frac{y}{x}}+\pi,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x<0,y\geq0\\ arctan{\frac{y}{x}}-\pi,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x<0,y<0\\ \frac{\pi}{2},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=0,y>0\\ -\frac{\pi}{2},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=0,y<0\\ \end{cases} \]

2. 乘積

   1. 設\(z_1=r_1(cos\theta_1+isin\theta_1),z_2=r_2(cos\theta_2+isin\theta_2)\)，則：

      \(z_1z_2=r_1r_2[(cos\theta_1cos\theta_2-sin\theta_1sin\theta_2)+i(sin\theta_1cos\theta_2+cos\theta_1sin\theta_2)]=r_1r_2[cos(\theta_1+\theta_2)+isin(\theta_1+\theta_2)]=r_1r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}\)

   2. \(|z_1z_2|=|z_1||z_2|\)

   3. \(Arg(z_1z_2)=Argz_1+Argz_2\)

   推論：

   1. \(z_1z_2\dots z_n=r_1r_2\dots r_n[cos(\theta_1+\theta_2+\dots+\theta_n)+isin(\theta_1+\theta_2+\dots+\theta_n)]=r_1r_1\dots r_n e^{i(\theta_1+\theta_2+\dots+\theta_n)}\)
   2. \(|z_1z_2\dots z_n|=|z_1||z_2|\dots|z_n|\)
   3. \(Arg(z_1z_2\dots z_n)=Argz_1+Argz_2+\dots Argz_n\)

3. 除法

   1. \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[cos(\theta_1-\theta_2)+isin(\theta_1-\theta_2)]=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}\)
   2. \(|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}\)
   3. \(Arg(\frac{z_1}{z_2})=Argz_1-Argz_2\)

   兩個複數商的模等於模的商，兩個複數商的輻角等於他們輻角的差。

4. 乘冪

   1. \(z^n=r^n(cosn\theta+isinn\theta)\)
   2. 棣莫弗公式：\((cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta\)

5. 方根

   1. \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+isin\frac{\theta+2k\pi}{n})\)

   令\(z=re^{i\theta}\)，有：

   2. \(\sqrt[n]{re^{i\theta}}=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}\)

   幾何上看出，\(\sqrt[n]{z}\)的n個值是以原點為圓心，\(\sqrt[n]{r}\)為半徑的圓內接正n邊形的n個頂點。

5. 初等函式

1. 指數函式

   1. 定義：\(e^z=exp(z)=e^x(cosy+isiny)\)

   2. 性質：

      1. \(|e^z|=e^x\)

      2. \(e^{z_1}\cdot e^{z_2}=e^{z_1+z_2}\)

      3. \(e^{z+2k\pi i}=e^z\cdot e^{2k\pi i}=e^z(cos2k\pi+isin2k\pi)=e^z\)

      4. \((e^z)'=e^z\)

2. 對數函式

   1. 定義：將滿足方程\(e^w=z(z\neq0)\)的函式\(w=f(z)\)稱為復變數\(z\)的對數函式，記作\(w=Lnz\)

   2. 對數函式計算方法及其主值：

      設\(w=u+iv=Lnz\)，則\(e^{u+iv}=z\)，於是得到：

      \[|e^{u+iv}|=e^u=|z| \]\[Arg(e^{u+iv})=Argz \]

      從而得到\(u=ln|z|,v=Argz\)，所以：

      \[\bf{w=Lnz=ln|z|+iArgz} \]

      可以看出，\(Lnz\)是多值函式。將\(ln|z|+iargz\)稱為Lnz主值，即：

      \[\bf{lnz=ln|z|+iargz} \]

   3. 性質

      1. \(Ln(z_1z_2)=Lnz_1+Lnz_2\)
      2. \(Ln(\frac{z_1}{z_2})=Lnz_1-Lnz_2\)

   4. 注意：下面兩個等式不再成立。

      \[Lnz^n=nLnz \]\[Ln\sqrt[n]z=\frac{1}{n}Lnz \]

      原因是\(Lnz+Lnz+\dots+Lnz=nLnz\)不再成立。

3. 冪函式

   1. 定義：\(w=z^a=e^{a Lnz}\)

   2. 冪函式計算方法:

      1. \(a\)為整數時，\(e^{2ka\pi i}=1,w=z^a=e^{alnz}\)是單值函式。

      2. \(a\)為有理數\(\frac{m}{n}\)時，

         \(z^{\frac{m}{n}}=e^{\frac{m}{n}[ln|z|+i(argz+2k\pi)]}=e^{\frac{m}{n}ln|z|}[cos(\frac{m}{n}(argz+2k\pi))+isin(\frac{m}{n}(argz+2k\pi))]\)

         \(z^{\frac{m}{n}}\)有\(n\)個不同的值，即當\(k=0,1,\dots,n-1\)時相應的值

      3. \(a\)為無理數或虛數時，\(z^a\)有無窮多個值，其中\(e^{alnz}\)稱為\(z^a\)主值。

   3. 解析性：

      1. \(w=z^n(n\in Z^+)\)在複平面內處處解析，並且\((z^n)'=nz^{n-1}\)
      2. \(w=z^{-n}=\frac{1}{z^n}(n\in Z^+)\)在除原點的複平面內解析，並且\((z^{-n})'=-nz^{-n-1}\)
      3. 除去以上情況，\(w=z^a\)的各分支在除原點和負實軸的複平面內解析，並且\((z^a)'=az^{a-1}\)

4. 三角函式和雙曲函式

   1. 定義：

      1. 正弦函式\(sinz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\)
      2. 餘弦函式\(cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\)
      3. 雙曲正弦函式\(shz=\frac{e^z-e^{-z}}{2}\)
      4. 雙曲餘弦函式\(chz=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\)

   2. 性質：

      1. 三角函式恆等式和誘導公式仍成立

      2. \(cos(iz)=chz,sin(iz)=ishz\)

         \(ch(iz)=cosz,sh(iz)=isinz\)

      3. \(|sinz|,|cosz|\)無界

      4. 四個函式在複平面內處處解析，且：

         \((sinz)'=cosz,(cosz)'=-sinz\)

         \((shz)'=chz,(chz)'=shz\)