【題目描述】

給定一個n個點m條邊的有向圖，圖中可能存在重邊和自環，邊權可能為負數。

請你求出從1號點到n號點的最多經過k條邊的最短距離，如果無法從1號點走到n號點，輸出impossible。

注意：圖中可能存在負權迴路。

【輸入格式】

第一行包含三個整數n,m,k。

接下來m行，每行包含三個整數x,y,z，表示存在一條從點x到點y的有向邊，邊長為z。

【輸出格式】

輸出一個整數，表示從1號點到n號點的最多經過k條邊的最短距離。

如果不存在滿足條件的路徑，則輸出impossible。

【資料範圍】

1≤n,k≤500,
1≤m≤10000,
任意邊長的絕對值不超過10000。

【輸入樣例】

3 3 1
1 2 1
2 3 1
1 3 3
 

【輸出樣例】

3

由於含有負權邊，一定不可以使用Dijkstra。

Bellman-Ford演算法的實現方式是每一次都對圖中的所有邊進行一次鬆弛操作，對於邊(u,v):dist[v] = min(dist[v],dist[u] + w)，每一輪都對邊進行操作，當某一輪沒有邊再發生鬆弛操作即可停止。

在最短路存在的前提下，那麼我們每一次的鬆弛操作都應當讓最短路的邊數+1，而最短路最多隻有n-1條邊，故最多迴圈n-1次，即可得出結果，而每次對邊進行鬆弛時間複雜度是O(m)，故總時間複雜度是O(nm)。

Bellman-Ford演算法還可以檢測圖中是否存在負權環，當迴圈鬆弛操作n-1次後，第n次操作仍然有邊發生了鬆弛操作，那麼就意味著n個點的最短路可以擁有n條邊，根據抽屜定理，這條路徑中必然有某兩個點是相同，但一般判斷負環不使用Bellman-Ford演算法，而是用優化後的版本，SPFA演算法，包括求最短路也是，那麼Bellman-Ford演算法還有什麼優勢呢？優勢就在於本題，有邊數限制的最短路問題只能用Bellman-Ford演算法來求解

需要注意的點：

①由於是每一次對邊進行鬆弛操作，因此儲存圖的方式可以多變，只要能夠每次都遍歷完所有邊即可，故用結構體存下所有的邊會比鄰接表書寫起來更方便；

②每次鬆弛的時候，是使用上次鬆弛完的結果來計算本次的結果，因此計算的時候需要備份一次上次的結果，以免發生“串聯更新”的問題，也就是使用本次鬆弛計算的結果來更新後續的結果；

③輸出答案時，可能存在負權邊更新了兩個無法到達的點的情況，所以判斷不能直接判斷是否等於0x3f，比如1無法到達點5，也無法到達點7，但5->7的邊權是-2，那麼在每次鬆弛的時候，是會導致這個值變小一點點的。

 1 #include <iostream>
 2
 
 #include <string.h>
 3 using namespace std;
 4 
 5 const int N = 501,M = 10009;
 6 int n,m,k;
 7 int dist[N],backup[N];
 8 struct Edge
 9 {
10     int a,b,w;
11 }edges[M];
12 
13 void BellmanFord()
14 {
15     memset(dist,0x3f,sizeof dist);
16     dist[1] = 0;
17     for(int i = 0;i < k;++i)//限制k條邊則鬆弛k次
18     {
19         memcpy(backup,dist,sizeof dist);
20         for(int j = 0;j < m;++j)
21         {
22             int a = edges[j].a;
23             int b = edges[j].b;
24             int w = edges[j].w;
25             dist[b] = min(dist[b],backup[a] + w);
26         }
27     }
28     if(dist[n] < 0x3f3f3f3f/2)
29         cout << dist[n] << endl;
30     else
31         cout << "impossible" << endl;
32 }
33 
34 int main()
35 {
36     cin >> n >> m >> k;
37     for(int i = 0;i < m;++i)
38     {
39         int a,b,w;
40         cin >> a >> b >> w;
41         edges[i] = {a,b,w};
42     }
43     
44     BellmanFord();
45     
46     return 0;
47 }