• 最短路徑演算法
• Bellman Ford演算法
• Distance-Vector（路徑向量）路由演算法
• 最後的話

最短路徑演算法

路由器在建立路由表的時候，需要知道到其他伺服器節點的最短路徑，以確定檔案包的傳送方式。

尋找節點間最短路徑的演算法就是最短路徑演算法。常見的最短路徑演算法有Dijkstra演算法：對於一個節點而言，計算到其他節點的最短路徑，需要知道整個網路（N個節點）的相連路徑情況，再進行N次迭代計算最短路徑。使用該類演算法實現的路由演算法稱為Link-State路由演算法。這類演算法的基本方法是：每個節點先向其他所有節點發送本節點的路徑情況：和哪些節點相連，距離是多少。待收到其他所有節點的資訊後，進行一次完整的Dijkstra演算法計算從本節點出發的最短路徑。這類演算法的好處是：路徑計算過程中，迭代過程確保收斂，同時對於收到的錯誤路徑資訊能進行有效的檢驗（每個點都有一份完整的網路路徑資訊，某個節點處出現錯誤資訊容易發現及糾正）。

然而這類演算法每個節點都需要知道整個網路的路徑情況，這在範圍較大的公用網路中實現的代價可能比較大：如果沒有像在SDN中的一個集中的全域性控制器用以收集整個網路的情況，那所有節點都需要知道網路中其他所有節點的路徑情況，這會帶來很大的資料傳輸量，並使路由表的初始化過程十分緩慢。而基於Bellman Ford演算法的Distance-Vector（路徑向量）類路由演算法可以應對這個問題。這類演算法的特點是分散式實現及非同步迭代更新。

Bellman Ford演算法

對於一個n個節點，m條邊的圖，生成從節點p到其他所有節點的最短路徑：

1. 初始化距離：對於目標節點p，p到自身的距離d(p)=0，到其餘節點的距離d(i)初始化為無限大。

2. 進行n次迭代（或鬆弛relax）：每次迭代中，遍歷圖中的每條邊eij（從點i到點j），如果p到邊起點i的最小距離d(i)加上邊長度eij小於p到邊終點的最小距離d(j)，即d(i) + eij < d(j)，則更新p到j的最小距離（鬆弛）為d(i) + eij。

因為p到其他任意節點的最短路徑最多隻會通過n個節點，因此上面的n次迭代能確保找到圖中存在的最短路徑（即確保最後的d(i)為最小值）。

演算法一共n次迭代，每次迭代都遍歷所用的m條邊進行距離更新，因此整個演算法的時間複雜度為O(nm)。

需要注意到的是，在每次迭代中，除了更新儲存的最短路徑外，其餘內容（圖中每條邊的距離）都是相對獨立的，這也就給這個演算法的拓展提供了空間：將演算法改進為分散式非同步迭代更新（每個節點計算最短路徑的迭代過程按各節點情況獨立進行），這就是下面要介紹的Distance-Vector演算法。

Distance-Vector（路徑向量）路由演算法

Distance-Vector演算法沿用了Bellman Ford演算法的基本思想 --Bellman Ford等式。

d(i) = min {d(j) + eij}

上面這個等式的意思是說，點p到點i的最短距離，等於這個變數的最小值：點p到任意點j的最短距離（d(j)），加上點i、點j間的距離(eij)。

這個說法可能有點繞，更直接和形象化的說法是這樣：要找到點p到點i間的最短路徑，分成兩步 -- 1.找到這個路徑的第一個（或最後一個）中間節點j。2.再找到點j和點p間的最短路徑。這看起來沒什麼意義，但是有一個重大的作用：確定了這個路徑間的一個節點j。依次迭代這樣的做法，那麼路徑中的所用節點就都能確定了。

事實上，對路由表來說，確定這個路徑的下一個節點就夠了：路由器把檔案轉發給那個節點對應的介面就完成工作了，後面的傳遞由其他的路由器完成。而這種依次確定下一個節點的思想，也在強化學習（Reinforcement learning）中的Q-學習(Q-learning)中有體現。

基於這個Bellman Ford等式，就有了下面的Distance-Vector演算法：

1.節點p初始化自己的距離向量（Distance Vector，也是這個演算法名字的由來）-- 到各個節點的最短距離，p到自身的距離d(p)=0，到相鄰節點的距離為邊的長度d(i) = epi，到其餘非相鄰節點的距離d(i)初始化為無限大。

2. 節點p向所用相鄰節點發送自己的距離向量。

3. 在收到其他節點發送的距離向量後，更新自己的距離向量。如果有變動，則重新發送自己的距離向量。一直持續這個過程。從理論上可以證明，如果網路狀況是穩定的， 這個過程會收斂到最短路徑。

這裡我們可以看到，在整個演算法的執行過程中，每個節點的距離向量（也就是路由表）都是獨立持續更新的。這就保證了無論網路多大，每個路由器始終都保有一份可用的路由表，並且會根據周圍節點傳來的資訊不斷更新。這在一定程度上解決了Link-State路由演算法初始化速度較慢，傳送資料較多（Distance-Vector只向相鄰節點發送路由表）的問題。

當然，Distance-Vector演算法也有自己的問題，比如收斂到最短路徑的速度會比較慢，如果網路狀況出現變化，最短路徑更新過程也可能比較慢。而這也是很多分散式演算法會存在的問題。

最後的話

從上面我們可以看到，理論上的演算法在實際應用中，可以根據不同的實際需求進行相應的改進，以適合實際的任務需求。但是改進後的演算法在實際應用中的表現，仍然在很大程度上取決於原演算法的理論性質。這就是演算法在理論研究與實際應用中的不同的分工與側重。