CF585E Present for Vitalik the Philatelist - 數論，容斥
阿新 • • 發佈：2021-10-21
題解
\(2900\) 就這？
可以發現要求的無非是：
\[\begin{aligned} 2\sum_{A\subset S} [\gcd\{A\}=1]\lvert A\rvert-n\sum_{A\subset S} [\gcd\{A\}=1] \end{aligned} \]考慮一個常見套路：對於數集 \(A\)，限定 \(B\subset A\land \gcd\{B\}=k\) 是不好做的，但 \(k\mid\gcd\{B\}\) 是好做的：其充要條件就是 \(\forall x\in B,k\mid x\)。於是對於每個 \(k\)，先統計出來這樣的答案 \(f_k\)，然後倒序列舉 \(k\)
然後就做完了，整體複雜度是 \(\mathcal{O}(n+V\log\log V)\)，程式碼寫的是 \(\mathcal{O}(n+V\log V)\) 做法，懶得改了。
程式碼
#include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <algorithm> using namespace std; #define For(Ti,Ta,Tb) for(int Ti=(Ta);Ti<=(Tb);++Ti) #define Dec(Ti,Ta,Tb) for(int Ti=(Ta);Ti>=(Tb);--Ti) template<typename T> void Read(T &_x){ _x=0;int _f=1; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) _f=(ch=='-'?-1:_f),ch=getchar(); while(isdigit(ch)) _x=_x*10+(ch^48),ch=getchar(); _x*=_f; } template<typename T,typename... Args> void Read(T &_x,Args& ...others){ Read(_x);Read(others...); } typedef long long ll; const int N=5e5+5,V=1e7+5,Mod=1e9+7; int n,a[N]; int prime[V/10],prCnt=0; bool vis[V]; void Sieve(int mx){ vis[1]=1; For(i,2,mx){ if(!vis[i]) prime[++prCnt]=i; for(int j=1;j<=prCnt&&i*prime[j]<=mx;++j){ vis[i*prime[j]]=1; if(i%prime[j]==0) break; } } } void Dirichlet(int mx,ll *arr,int inv){ For(i,1,prCnt){ for(int j=1;prime[i]*j<=mx;++j){ arr[j]=(arr[j]+Mod+1LL*inv*arr[prime[i]*j])%Mod; } } } int cnt[V]; ll pow2[N],f[V],g[V]; int main(){ Read(n); pow2[0]=1; For(i,1,n) pow2[i]=pow2[i-1]*2%Mod; int mx=0; For(i,1,n) Read(a[i]),mx=max(mx,a[i]),++cnt[a[i]]; Sieve(mx); For(i,1,mx){ int cur=0; for(int j=1;j*i<=mx;++j) cur+=cnt[i*j]; if(cur) f[i]=cur*pow2[cur-1]%Mod,g[i]=(pow2[cur]-1+Mod)%Mod; } Dirichlet(mx,f,-1); Dirichlet(mx,g,-1); ll ans=f[1]*2%Mod-g[1]*n%Mod; printf("%lld\n",(ans+Mod)%Mod); return 0; }