CF900D Unusual Sequences - 數論，容斥
阿新 • • 發佈：2021-10-21
題解
首先顯然若 \(x\nmid y\) 則無解。否則，令 \(y\gets \frac{y}{x}\)。
設 \(f_{k,g}\) 為選若干個數 \(\langle a_{i=1}^n\rangle\) 使得 \(\sum_{i=1}^n a_i=k\) 且 \(g\mid \gcd(a_1,a_2,\dots,a_n)\) 的方案數。由組合恆等式易得若 \(g\mid k\) 則 \(f_{k,g}=2^{k/g-1}\)，否則 \(=0\)。
所以 \(f\) 中只有 \(\operatorname{d}(y)\) 個位置有值，\(\operatorname{d}\) 是約數個數函式。
加個光速冪，暴力轉移即可，時間複雜度 \(\mathcal{O}([\operatorname{d}(y)]^2)\)
程式碼
#include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <algorithm> #include <cmath> #include <vector> using namespace std; #define For(Ti,Ta,Tb) for(int Ti=(Ta);Ti<=(Tb);++Ti) #define Dec(Ti,Ta,Tb) for(int Ti=(Ta);Ti>=(Tb);--Ti) template<typename T> void Read(T &_x){ _x=0;int _f=1; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) _f=(ch=='-'?-1:_f),ch=getchar(); while(isdigit(ch)) _x=_x*10+(ch^48),ch=getchar(); _x*=_f; } template<typename T,typename... Args> void Read(T &_x,Args& ...others){ Read(_x);Read(others...); } typedef long long ll; typedef pair<int,ll> pil; const int Mod=1e9+7; template<int _V> struct FastPower{ static const int _Size=sqrt(_V+.5)+1; long long _pow1[_Size],_pow2[_Size]; const int _Base,_Mod; FastPower(int _base,int _mod):_Base(_base),_Mod(_mod){ _pow1[0]=_pow2[0]=1; for(int _i=1;_i<_Size;++_i) _pow1[_i]=_pow1[_i-1]*_Base%_Mod; long long _temp=_pow1[_Size-1]*_Base%_Mod; for(int _i=1;_i<_Size;++_i) _pow2[_i]=_pow2[_i-1]*_temp%_Mod; } long long operator()(int _p){ return _pow1[_p%_Size]*_pow2[_p/_Size]%_Mod; } }; ll x,y; vector<pil> d; int main(){ Read(x,y); if(y%x) return puts("0"),0; y/=x,x=1; FastPower<Mod> pow2(2,Mod); for(int i=1;i*i<=y;++i){ if(y%i==0) d.push_back({i,pow2(y/i-1)}),d.push_back({y/i,pow2(i-1)}); } sort(d.begin(),d.end()); d.erase(unique(d.begin(),d.end()),d.end()); d.insert(d.begin(),{0,0}); for(auto it=prev(d.end());it!=d.begin();--it){ for(auto jt=next(it);jt!=d.end();++jt){ if(jt->first%it->first==0) it->second=(it->second+Mod-jt->second)%Mod; } } printf("%lld\n",d[1].second); return 0; }