[題目小結] 可持久化資料結構
- $\text{[ONTAK 2010] Peaks}$
- 訓練士兵
- $\text{Couple Trees}$
- $\text{JZOJ - 4616}$ 二進位制的世界
- $\text{K }$個串
- $\text{BZOJ - 4771 }$七彩樹
\(\text{[ONTAK 2010] Peaks}\)
解法
首先可以想到是 \(\rm Kruskal\) 重構樹，問題轉化為求重構樹中某子樹的第 \(k\) 大權值。
先開始想寫線段樹合併，後來發現要寫可持久化，不然由於中間的版本將地址給了後面的版本，就不能查詢中間版本了。
其實這題也可以用 \(\rm dfs\)
程式碼
訓練士兵
解法
將詢問和修改差分。令修改 \((x,y,w)\) 表示將橫縱座標都分別大於 \(x,y\) 的點都加上 \(w\)。這樣我們需要考慮 \((x,y,w)\) 對 \([1,1]-[i,j]\) 的貢獻
\[\text{Ans}=\sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j (i-x+1)\cdot (j-y+1)\cdot w_{x,y} \]\[=(i+1)(j+1)\cdot \sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j w_{x,y}-(j+1)\cdot \sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j x\cdot w_{x,y}-(i+1)\cdot \sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j y\cdot w_{x,y}+\sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j xy\cdot w_{x,y} \]所以只需要維護四個變數即可。
由於是先修改再查詢，我們可以不使用樹套樹，而是將 \(x,y\) 座標離散化後，以 \(x\) 座標為主席樹的根，將 \(y\) 在主席樹上維護。查詢也是 \(\mathcal O(q\log n)\) 的。
程式碼
\(\text{Couple Trees}\)
題目描述
給定兩棵大小均為 \(n\) 的樹，它們共用相同的節點。保證 父親的編號一定比兒子小。
有 \(m\) 個詢問，每個詢問為 \((x,y)\)，詢問從樹 \(1\) 的 \(x\)，樹 \(2\) 的 \(y\) 開始向上走，能走到相同 \(\rm id\) 的最深的點。你需要輸出這個點以及 \(x,y\)
解法
可以先將樹 \(1\) 來一個樹剖，這樣 \(x\) 到根的路徑可以被表示成幾段區間。對樹 \(2\) 做主席樹，兒子繼承父親的版本，在樹 \(1\) 的 \(\text{dfn}_x\) 的地方插入 \(x\)。這樣對於查詢，我們可以在第 \(y\) 個版本的主席樹中查詢 \(x\) 到根路徑被表示的區間，這是 \(\mathcal O(q\log^2 n)\) 的。
\(\text{JZOJ - 4616}\) 二進位制的世界
題目描述
給定長為 \(n\) 的序列 \(a\)，你需要對於每個 \(i\in[2,n]\)，求出 \(a_i\text{ opt }a_j\) 的最大值，其中 \(j\in[1,i)\)，\(\text{opt}\in \{\text{or,and,xor}\}\)。
\(n\le 10^5,0\le a_i<65536\)。
解法
最樸素的暴力是記錄數 \(x\) 是否出現過，\(\mathcal O(1)\) 插入，\(\mathcal O(2^{16})\) 詢問。
我們可以增大插入時間，減少詢問時間。令 \(f_{i,j}\) 為前 \(8\) 位為 \(i\)，後 \(8\) 位為 \(j\) 的數進行運算 後 \(8\) 位 的最大值（這裡其實前/後沒啥區別）。那麼假設插入的數前後 \(8\) 位分別為 \(x,y\)，就有
\[f_{x,j}=\max\{f_{x,j},j\text{ opt }y\} \]假設詢問的數字前後 \(8\) 位分別為 \(x,y\)，就有
\[\text{Ans}=\max\big \{f_{i,y}+(i\text{ opt }x)\cdot 2^8\big \} \]\(\text{K }\)個串
解法
題目是比較經典的堆的問題，因為 \(k\le 2\cdot 10^5\)，我們可以以 \(i\in[1,n]\) 作為右端點，先將右端點為 \(i\) 的最大子串塞進堆，取出堆頂，發現最大子串將左端點區間分成兩段，在兩段中各取最大值即可。
問題是如何快速維護右端點為 \(i\)，左端點在某一區間的最大子串。可以考慮以右端點為根建立主席樹，左端點對應著樹內下標。這樣每次右移右端點 \(i\)，它的貢獻就是在 \((lst_{a_i},i]\) 中加上 \(a_i\)。
實現上為了控制記憶體，寫了個標記永久化（這樣每次還是增加大概 \(\log n\) 個點），記錄一下幾個小 \(\rm bug\)：
- 在
ins()函式中，我們不能將 \(\rm lazy\) 標記寫成函式的遞迴傳遞，每次加上這個節點的 \(\rm lazy\)。因為在修改的時候，這個節點 \(o\) 的兒子可能不被修改覆蓋，這個兒子就沒有加上 \(\rm lazy\) 標記，更新 \(o\) 就會出錯。最好的寫法是修改時不將標記下傳，在pushUp()時加上標記即可。這樣後面ask()也更好辦一點。 - 每次修改區間之後，不能直接將 \(rt_i\) 的最大值塞進堆。這也是寫法的問題，因為 \(rt_i\) 是 \([1,n]\) 的最大值，而 \([i+1,n]\) 初始是 \(0\)，如果 \([1,i]\) 區間內的數都 \(<0\) 就會出錯。
程式碼
\(\text{BZOJ - 4771 }\)七彩樹
解法
樹套樹？似乎也不好處理顏色。題解的做法是以深度建立主席樹，維護樹上 \(\text{dfs}\) 序。插入時將節點按深度排序。假設處理到 \(x\)，那麼 \(x\) 對到根的一條鏈都貢獻 \(1\)，找到與其同色且先插入的點中的前驅 \(pre\) 與後繼 \(nxt\)，那麼 \(\text{lca}(pre,x),\text{lca}(nst,x)\) 的貢獻就 \(-1\) 了，而且 \(\text{lca}(pre,nxt)\) 還要 \(+1\)。另外都已經在插入 \(pre,nxt\) 時被處理過了。
複雜度 \(\mathcal O(n\log n)\)。