可持久化資料結構（線段樹，trie樹）
阿新 • • 發佈：2020-07-28
1.可持久化線段樹
- 又稱主席樹，因為發明這一演算法的人的名字縮寫為HJT。
- 主席樹可以儲存各個歷史狀態，如果用普通線段樹，每個狀態都是 4n 的，記憶體和時間開銷極大，而主席樹通過動態開點，先繼承上一狀態的左右兒子節點指標，再進行修改，每次修改的時間和空間都可以優化到 \(\log n\) 級別。
- 通過下圖主席樹的結構進行一下理解，黑色部分是普通的線段樹，有顏色部分為每次的修改。
- 看一下實現過程。
#define lson t[rt].l, l, mid #define rson t[rt].r, mid + 1, r void Change(int &rt, int l, int r, int x) { t[++tot] = t[rt];//繼承上一狀態 rt = tot;//注意rt是引用變數，可以更改對上一層進行更改 ++t[rt].s;//計數++ if (l == r) return;//遞迴邊界 int mid = l+r >> 1; x <= mid ? Change(lson, x) : Change(rson, x); }
例題1
- P3834 【模板】可持久化線段樹 2（主席樹）
- 「區間第k小」給定 n 個整數構成的序列 a，將對於指定的閉區間 [l,r] 查詢其區間內的第 k 小值。
- 建議離散化，不離散化直接維護-1e9到1e9也可以，只是這樣時間和空間都會比較大。
Code
#include <cstdio> #include <algorithm> #define lson t[rt].l, l, mid #define rson t[rt].r, mid + 1, r using namespace std; const int N = 2e5 + 5; struct Tree{ int s, l, r; }t[N*20]; int a[N], h[N], n, m, Q, root[N], tot; void Change(int &rt, int l, int r, int x) { t[++tot] = t[rt]; rt = tot; ++t[rt].s; if (l == r) return; int mid = l+r >> 1; x <= mid ? Change(lson, x) : Change(rson, x); } int Ask(int lrt, int rt, int l, int r, int k) {//線上段樹中二分查詢答案 if (l == r) return l; int mid = l+r >> 1; int s = t[t[rt].l].s - t[t[lrt].l].s;//這裡有些類似於字首和 if (s >= k) return Ask(t[lrt].l, lson, k); else return Ask(t[lrt].r, rson, k - s); } int main() { scanf("%d%d", &n, &Q); for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]), h[i] = a[i]; sort(h + 1, h + n + 1); m = unique(h + 1, h + n + 1) - h - 1;//離散化 root[0] = ++tot; for (int i = 1; i <= n; ++i) { int x = lower_bound(h + 1, h + m + 1, a[i]) - h; Change(root[i] = root[i-1], 1, m, x); } while (Q--) { int l, r, k; scanf("%d%d%d", &l, &r, &k); printf("%d\n", h[Ask(root[l-1], root[r], 1, m, k)]); } return 0; }
例題2
- P2633 Count on a tree
- 「樹上第k小」給定一棵 n 個節點的樹，每個點有一個權值。有 m 個詢問，每次給你 u,v,k，你需要回答 \(u\text{ xor last}\) 和 v 這兩個節點間第 k 小的點權。
其中 last 是上一個詢問的答案，定義其初始為 0
- 「樹上第k小」給定一棵 n 個節點的樹，每個點有一個權值。有 m 個詢問，每次給你 u,v,k，你需要回答 \(u\text{ xor last}\) 和 v 這兩個節點間第 k 小的點權。
- x 到 y 路徑上的和等於 \(s_x+s_y-s_{lca}-s_{fa[lca]}\)，其實和上一道題區別不大
Code
#include <cstdio> #include <algorithm> #define lson t[rt].l, l, mid #define rson t[rt].r, mid + 1, r using namespace std; const int N = 1e5 + 5; struct Side { int t, next; }e[N<<1]; int head[N], tot; void Add(int x, int y) { e[++tot] = (Side) {y, head[x]}; head[x] = tot; } struct Tree { int l, r, s; }t[N*20]; int n, m, a[N], b[N], f[N][21], d[N], trc, root[N], last; void Change(int &rt, int l, int r, int x) { t[++trc] = t[rt]; rt = trc; ++t[rt].s; if (l == r) return; int mid = l+r >> 1; x <= mid ? Change(lson, x) : Change(rson, x); } int Ask(int x, int y, int lca, int flca, int l, int r, int k) { if (l == r) return l; int mid = l+r >> 1, s; s = t[t[x].l].s + t[t[y].l].s - t[t[lca].l].s - t[t[flca].l].s; if (s >= k) return Ask(t[x].l, t[y].l, t[lca].l, t[flca].l, l, mid, k); else return Ask(t[x].r, t[y].r, t[lca].r, t[flca].r, mid + 1, r, k - s); } void Dfs(int x) { int num = lower_bound(b + 1, b + b[0] + 1, a[x]) - b; Change(root[x] = root[f[x][0]], 1, b[0], num); d[x] = d[f[x][0]] + 1; for (int i = head[x]; i; i = e[i].next) { int y = e[i].t; if (y == f[x][0]) continue; f[y][0] = x; Dfs(y); } } int Jump(int x, int k) { int i = 0; while (k) { if (k & 1) x = f[x][i]; k >>= 1; ++i; } return x; } int Lca(int x, int y) { if (d[x] < d[y]) swap(x, y); for (int i = 0, k = d[x] - d[y]; k; k >>= 1, ++i) if (k & 1) x = f[x][i]; if (x == y) return x; for (int i = 20; i >= 0; --i) if (f[x][i] != f[y][i]) x = f[x][i], y = f[y][i]; return f[x][0]; } int main() { scanf("%d%d", &n, &m); for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]), b[i] = a[i]; sort(b + 1, b + n + 1); b[0] = unique(b + 1, b + n + 1) - b - 1; for (int i = 1; i < n; ++i) { int x, y; scanf("%d%d", &x, &y); Add(x, y); Add(y, x); } root[0] = ++trc; Dfs(1); for (int i = 1; i <= 20; ++i) for (int x = 1; x <= n; ++x) f[x][i] = f[f[x][i-1]][i-1];//倍增Lca預處理 while (m--) { int x, y, k; scanf("%d%d%d", &x, &y, &k); x ^= last; int lca = Lca(x, y); //k = d[x] + d[y] - d[lca] * 2 + 1 - k + 1; last = b[Ask(root[x], root[y], root[lca], root[f[lca][0]], 1, b[0], k)]; printf("%d\n", last); } return 0; }
2.可持久化Trie樹
- 學會了主席樹，其實這個就是一個道理了。
- 看下面這張圖，長的和主席樹還是挺像的。
例題
- P4735 最大異或和
- 給 n 個數，每次操作在最後新增一個數或在 [l,r] 中選一個數 p，使得 p 到結尾的異或和異或上 x 的值最大。
- 看到異或就很大概率是Trie樹了。
Code
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 6e5 + 5;
int n, m, t[N*24][2], tot, s[N], b[N*24], root[N];
void Insert(int p, int lp, int k, int i) {
if (k < 0) return b[p] = i, void();
bool y = s[i]>>k & 1;
if (lp) t[p][y^1] = t[lp][y^1];
t[p][y] = ++tot;
Insert(t[p][y], t[lp][y], k - 1, i);
b[p] = max(b[t[p][0]], b[t[p][1]]);
}
int Ask(int p, int lim, int k, int x) {
if (k < 0) return s[b[p]] ^ x;
bool y = x>>k & 1;
if (b[t[p][y^1]] >= lim)
return Ask(t[p][y^1], lim, k - 1, x);
return Ask(t[p][y], lim, k - 1, x);
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
b[0] = -1;
root[0] = ++tot;
Insert(root[0], 0, 23, 0);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
scanf("%d", &s[i]);
s[i] ^= s[i-1];
root[i] = ++tot;
Insert(root[i], root[i-1], 23, i);
}
while (m--) {
char od;
scanf(" %c", &od);
if (od == 'A') {
scanf("%d", &s[++n]);
s[n] ^= s[n-1];
root[n] = ++tot;
Insert(root[n], root[n-1], 23, n);
}
else {
int l, r, x;
scanf("%d%d%d", &l, &r, &x);
printf("%d\n", Ask(root[r-1], l-1, 23, s[n] ^ x));
}
}
return 0;
}