• 題目大意

  你有 \(k\) 個數字，他們分別是 \(1,2,3,...,k\) 對於數字 \(i\) 你有相同的 \(a_i\)​ 個。

  定義一個 \(n \times n\) 的矩陣為美麗矩陣：

  • 這個 \(n\times n\) 的矩陣包含了你所擁有的所有數字；

  • 對於每個 \(2\times 2\) 的子矩陣，佔用的格子不能超過 \(3\)（當一個格子的數為 \(0\) 時，我們認為它沒有被佔用）並且每個對角線的數字是不同的；

  現在，你要構造一個最小的美麗矩陣。

• 分析

  首先，考慮每個 \(2\times2\) 矩陣都必須有一個 \(0\) ，不妨先計算出最少需要幾個 \(0\)

  。

  顯然，對於每個 \((i+j) \equiv 0 \pmod{2}\) 且 \(i\) 和 \(j\) 都為偶數時候，把 \((i,j)\) 賦值為 \(0\) ，此時的 \(0\) 數量最少。

  所以最少需要的 \(0\) 的個數是 \(\left\lfloor \dfrac{p}{2} \right\rfloor ^2\) 。

  所以在算 \(p\) 的時候，最小的 \(p\) 一定要滿足 \(m>p^2-\left\lfloor \dfrac{p}{2} \right\rfloor ^2\) 。

  接著我們對 \(0\) 的上下左右染色，上下為 \(1\) ，左右為 \(2\) 。

  因為 \(0\)

  此時已經滿足題目要求了。所以我們考慮對角線要求。

  此時只要考慮每組的 \(1\) 和 \(2\) 不同就好了。

  但是，有可能此時染色無法滿足要求。如果出現一個顏色的數量大於白色和 \(0\) （或 \(1\) ）的總數，就無法滿足要求。

  但這種顏色最多存在 \(1\) 個，所以開頭計算 \(p\) 的時候再多判斷一下就好了。

  如果保證一定有解，那就直接染色就好了。把 \(cnt_i\) 從小到大排序，\(0\) 從數量最小的顏色開始賦值，\(1\) 從最大的開始賦值。注意這裡的賦值包括 \(0\) ，也優先考慮 \(0\) 。可以證明這樣一定滿足題目要求。

• 程式碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+5,M=3000+5;
struct node{
	int id,x;
}cnt[N];
int T,n,m,p,a[M][M],ans[M][M];
bool cmp(node u,node v)
{	if(u.x!=v.x)return u.x<v.x;
	else return u.id<v.id;
}
void solve()
{	
	cnt[0].x=p*p-m;cnt[0].id=0;
	for(int i=1;i<=p;i++)
		for(int j=1;j<=p;j++)
			a[i][j]=-1;
	for(int i=1;i<=p;i++)
		for(int j=1;j<=p;j++)
		{	
			if((i&1)==0&&(j&1)==0&&((i+j)&1)==0)
			{	
				a[i][j]=ans[i][j]=0;
				cnt[0].x--;
				a[i-1][j]=a[i+1][j]=1;
				a[i][j-1]=a[i][j+1]=2;
			}
		}
	int x=0,y=n;
	while(x<=n&&cnt[x].x==0)x++;
	while(y>=0&&cnt[y].x==0)y--;
	for(int i=1;i<=p;i++)
		for(int j=1;j<=p;j++)
		{	
			if(a[i][j]==0)continue;
			else if(a[i][j]==1)
			{	
				ans[i][j]=cnt[x].id;
				cnt[x].x--;
				while(x<=n&&cnt[x].x==0)x++;
			}
			else if(a[i][j]==2)
			{	
				ans[i][j]=cnt[y].id;
				cnt[y].x--;
				while(y>=0&&cnt[y].x==0)y--;
			}
		}
	for(int i=1;i<=p;i++)
		for(int j=1;j<=p;j++)
		{	
			if(a[i][j]!=-1)continue;
			ans[i][j]=cnt[x].id;
			cnt[x].x--;
			while(x<=n&&cnt[x].x==0)x++;
		}
}
int main()
{	
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{	
		scanf("%d%d",&m,&n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{	
			scanf("%d",&cnt[i].x);
			cnt[i].id=i;
		}
		sort(cnt+1,cnt+1+n,cmp);
		if(m==1)
		{	
			printf("1\n%d\n",cnt[n]);
			continue;
		}
		p=2;
		while(p*p-(p/2)*(p/2)<m)p++;
		while(cnt[n].x>p*p-(p/2)*(p/2)-(p/2)*((p+1)/2))p++;
		solve();
		printf("%d\n",p);
		for(int i=1;i<=p;i++)
		{	
			for(int j=1;j<=p;j++)
				printf("%d ",ans[i][j]);
			printf("\n");
		}
	}
	return 0;
}