ljs神 Orz，再一次大比分rank1，無線接近AK。膜拜nbnbnbnbnbnbnbnbnb的ljs隊長。

T1

Description

有集合 \(w_{1,2,...,n}\)，分到 \(k\) 個集合中，貢獻是每個集合個數乘上 \(\sum w\) 的和。問總情況貢獻和。

Solution

挺有意思的，想了1個多小時，像個sb一樣。

考慮對於一個點計算貢獻，發現只需要算出每種情況所屬的集合之和的和。考慮兩種情況，一種是自己當一個集合，這種情況貢獻是 \(\begin{Bmatrix} n-1 \\ k-1\end{Bmatrix}\)。另外一種情況是放入其它集合，這種情況貢獻就是 \(\begin{Bmatrix} n-1 \\ k\end{Bmatrix}\times (n-1+k)\)

所以直接算 \(\begin{Bmatrix} n-1 \\ k\end{Bmatrix}\) 和 \(\begin{Bmatrix} n-1 \\ k-1\end{Bmatrix}\) 就行了。

T2

Description

有 \(n\) 個商店，商店兩兩之間都只需要 \(1\) 分鐘，加入在時間 \(t\) 來到商店 \(i\) ，那麼需要 \(t\times a_i+b_i\) 來排隊。問在 \(T\) 之前最多能到幾個商店買到東西。

Solution

考試的時候懶得繼續優化了。/kk

不難發現加入我們選了 \((a_1,b_1),(a_2,b_2)\)，那麼 \((a_1,b_1)\)

你發現這個東西似乎是有傳遞性的，所以我們就可以排序之後，相當於選一個子序列出來。這個顯然可以用字首最小值做到 \(\Theta(n^2)\)。

發現我們 \(a\not= 0\) 的時候，每次 \(t\) 必定翻倍，所以最多 \(\log T\)

T3

Description

給出 \(n\)，表示有一個長度為 \(n\) 的序列，每個位置可以選 \((0,2^n)\)，使得每個位置的值都互不相同，使得它們的異或值不為 \(0\)，求方案數對 \(1000000007\) 取模。

\(n\le 10^7\)

Solution

考慮容斥，我們考慮 \(f_i\) 表示前面 \(i\) 個位置已經放好了，且互不相同，異或值為 \(0\) 的方案數。為了算 \(f_i\) 我們可以設 \(p_i\) 表示前面 \(i\) 個數互不相同的方案數，這個可以發現很好算。

可以發現 \(f_i=p_{i-1}-f_{i-1}-(2^n-i+1)\times f_{i-2}\times (i-1)\)，因為你肯定需要第 \(i\) 個位置的值等於前面 \(i-1\) 個位置的異或和，所以總方案就是 \(p_{i-1}\)，然後需要減去前面異或值為 \(0\) 的情況，因為這時第 \(i\) 個位置為 \(0\)。還需要減去前面有相同的值的情況，這個時候相當於有 \(i-2\) 個異或值為 \(0\)，再加上兩個相同的值。最後答案就是 \(p_i-f_i\) 。

似乎有其他的容斥做法，但我推不動。

T4

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