/kk，要退役了，最後2天還是象徵性地記錄一下考試補題吧。/kk

2021/11/17 T1 春節十二響

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Solution

考試的時候想了1個半小時，感覺自己智商下降地越來越快了。/kk

我們發現我們直接樹上啟發式合併就做完了，因為子樹之間互不影響，而你子樹的根也不能和子樹內的點放在一起。

複雜度是 \(\Theta(n\log^2 n)\) 的。

2021/11/17 T3 Severus

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Description

有一個 \(n\) 的個點的樹，有 \(m\) 次操作，每次為以下兩種之一（集合為可重集）：

• 給 \(u\to v\) 的路徑上的每個點的集合都加入 \(w\) 。

• 求給出 \(k\)

  個點虛樹上所有點的集合的並的權值之和。

\(n,m\le 10^5,\sum k\le 5\times 10^5\)

Solution

很愚蠢，但是我又沒有看出來。/kk 真的要退役了

我們可以發現的是，兩個路徑的交點一定包含兩者中的一個 lca，然後我們就做完了。注意 \(\sum k\) 只能帶一隻 \(\log n\)。

umi

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Description

定義一個序列為好的，當且僅當一個顏色都在同一個段裡面。

給你一個序列，每次操作你可以將某顏色 在序列上的所有位置改成另一顏色，使得最終序列是好的。

我們定義代價為最終序列與原序列不同的位置數量（不是操作次數）。

有 \(T\) 次詢問，每次將一個位置進行修改，問修改後的答案。

\(n\le 2\times 10^5\)

Solution

我們發現對於顏色 \(c\) 求出出現左端點 \(l_c\)，出現右端點 \(r_c\)，那麼區間 \([l_c,r_c]\) 必定被染成相同顏色。

我們設 \(b_i\) 為 \(i,i+1\) 都被 \([l_c,r_c]\) 都被包含的 \(c\) 的個數。那麼 \(b_i=0\) 的時候 \(i\) 一定是一個相同顏色區間的右端點。而一個區間的貢獻就是大小減去出現次數最多的顏色的出現個數。前者綜合為 \(n\)，我們直接求後者即可。

我們將 \([l_c,r_c]\) 中 \(c\) 的出現個數賦值到 \(l_c\) ，那麼，一個區間的貢獻就是區間值的最大值，也即是說，我們求出 \(b_i=0\)

考慮怎麼維護，實際上我們可以維護區間 \(b_i\) 最小值，值的最大值，最左邊最小值及左的值的最大值，最右邊最小值及右的值的最大值，以及會產生的貢獻和。

複雜度 \(\Theta(n\log n)\) 的。