K-D Tree

簡介

K-D Tree全稱 K-Dimensional Tree，也就是 \(K\) 維樹，是一種高效的樹形結構

K-D Tree與平衡樹（平衡二叉查詢樹）比較類似，不同在於平衡樹每個節點僅僅維護一個值，而K-D Tree所維護的資訊可能是 \(2\) 維甚至更高的，那麼怎麼樣才能保證均攤複雜度呢？下面就來說一說

實現

儲存與維護

K-D Tree一般需要儲存多維點資訊和樹上節點資訊，下面是儲存多維點的例子

struct point
{
    int d[k];
    const bool operator < (point p)const
    {
        return d[wd]<p.d[wd];
	}
}
 

樹上節點一般維護子樹中每一維資訊的最大值和最小值，以及左右兒子編號還有自己對應的一個節點的資訊，下面是K-D Tree樹上節點的例子

struct Tree
{
	int ch[2];
	point cur,mn,mx;
};

維護方法就是與線段樹類似的pushup，可操作性很強，從左右兒子更新自己的資訊，有點區別的就是需要注意更新時要加上自己節點所對應的資訊，下面是維護節點資訊（子樹多維資訊最大值最小值）的pushup例子

void pushup(Tree p)
{
	for(int i=0;i<2;++i)//列舉左右兒子
		if(p.ch[i])//如果子節點存在
			for(int j=0;j<2;++j)//就更新資訊
				p.mn.d[j]=min(p.mn.d[j],kd[p.ch[i]].mn.d[j]),//更新第j維最小值
				p.mx.d[j]=max(p.mx.d[j],kd[p.ch[i]].mx.d[j]);//更新第j維最大值
}
 

建樹

K-D Tree主要通過建樹來保證樹的形態較為平衡，對於樹上的每一層，我們都選擇一個維度進行劃分，以選擇的維度為分辨器來分割節點，主要有 輪轉法，隨機法和最大方差法，選擇之後只要使用函式 nth_element() 來選擇中位數，以中位數為劃分點，小於中位數的為左兒子，大於中位數的為右兒子，遞迴建樹即可，下面來說說維度劃分

輪轉法 利用取模運算，每一層一次選擇不同的維度進行劃分，例如一共有 \(k\) 個維度，那麼，第一層用第 \(1\) 維，第 \(2\) 層用第 \(2\) 維……第 \(i\) 層用第 \(i\%k\) 維

隨機法 顧名思義利用隨機數隨機選擇一個維度進行劃分

最大方差法

建樹的複雜度為 \(\Theta(n\log n)\)

下面是一個例子，二維的資料以輪轉法劃分

void build(int &pos,int l,int r,int dep)
{
	pos=0;//先賦值為0讓父節點的子節點編號為0
	if(l>r)return;//如果為空直接返回
	int mid=(l+r)>>1;//找到最中間的位置
	pos=mid;//以最中間位置的下標為當前節點的下標
	wd=dep&1;//維度劃分
	nth_element(node+l,node+mid,node+r+1);//找到中位數
	build(kdt[pos].ch[0],l,mid-1,dep+1);//建左兒子
	build(kdt[pos].ch[1],mid+1,r,dep+1);//建右兒子
	pushup(pos);//更新維護的資料，根據具體題目調整
}

查詢

K-D Tree的查詢操作也很多樣，我認為我講的不夠清晰，推薦大家看 Luogu 上@光與影的彼岸的一篇部落格，講的非常詳細清晰 淺談偏序問題與K-D Tree - 光與影的彼岸 - 洛谷部落格

我就只簡單說一下求平面最近點和最遠點的方法

首先考慮樸素演算法，將每個節點和所有節點比較，求出所有點對的距離，時間複雜度 \(\Theta(n^2)\)

怎麼優化呢？我們可以像A*演算法一樣設計一個估價函式，根據K-D Tree的劃分性質和節點維護的資訊，每個節點對應的子樹最大值最小值可以看做一個一個的矩形，估價函式則是估計當前點到矩形的最短距離（注意這裡估價函式同樣需要滿足任何估計代價必須小於實際代價），如果當前找到的最短距離都比估價要小，則可以放棄繼續查詢這棵子樹，節省了大量的時間

查詢的期望複雜度為 \(\Theta(n\sqrt n)\)

這也是為什麼大多數K-D Tree都是作為騙分的演算法，但是由於建樹方法多種多樣，所以卡K-D Tree也並不是那麼輕鬆

下面給出求平面最近點的例子

inline int sqr(int x){return x*x;}//平方
inline int dis2(point x,point y){return sqr(x.d[0]-y.d[0])+sqr(x.d[1]-y.d[1]);}//歐幾里得距離平方
inline int fmin(point x,Tree y)//估價函式
{
	int f=0;
	for(int i=0;i<2;++i)
		f+=sqr(max(y.mn.d[i]-x.d[i],0.0))+sqr(max(x.d[i]-y.mx.d[i],0.0));
	return f;
}
int maxans=-1;
inline void querymin(Tree x,point y)
{
	if(x.cur!=y) minans=min(minans,dis2(x.cur,y));//最近點要注意不能判斷到自己，否則最近點就都是自身了
	int fl=INF,fr=INF;//估價初始化為正無窮，保證在沒有兒子的時候不會繼續往下進入死迴圈
	if(x.ch[0]) fl=fmin(y,kd[x.ch[0]]);//左兒子估價
	if(x.ch[1]) fr=fmin(y,kd[x.ch[1]]);//右兒子估價
	if(fl>=fr)//優先走估價更小的子節點
	{
		if(fr<minans)querymin(kd[x.ch[1]],y);//估價滿足就走右兒子
		if(fl<minans)querymin(kd[x.ch[0]],y);//估價滿足就走左兒子
	}
	else
	{
		if(fl<minans)querymin(kd[x.ch[0]],y);
		if(fr<minans)querymin(kd[x.ch[1]],y);
	}
}

插入刪除

插入操作從根節點開始一直往被劃分的方向向下走，直到找到一個相同的點或者找到的節點沒有對應子節點，如果找到一個相同的點就維護一個 \(cnt\) 累加即可，若找到的節點沒有子節點就申請一個新節點，並且把新的節點編號作為找到節點的左兒子或者右兒子

刪除操作和替罪羊樹的刪除操作比較像，用和插入操作相同的方法找到對應節點之後，為節點打上被刪除標記，上傳資訊的時候特判不要加入自己的資訊即可

插入和刪除操作結束之後都需要上傳標記

需要注意的是，如果只是單純插入刪除點，在操作次數多了之後K-D Tree可能退化為一條鏈，導致效率變低，為了避免這種問題，我們需要考慮使用類似平衡樹的方法來維持樹的平衡，但是Splay，有旋Treap之類的旋轉操作顯然會破壞K-D Tree的性質，我們這時就需要替罪羊樹的重構操作，將樹直接拍扁然後重新建子樹就能儘可能維護樹的平衡

小結

K-D Tree能非常方便地處理多維資料，而且可擴充套件性較強，可以方便地支援各種操作，碼量也並不算很大，只是複雜度較高，不過在OI考場上絕對是一種優秀的騙分方法，在大多數情況下都能獲得很高的分數，下面給出幾道例題，可以嘗試一下

Luogu P1429 平面最近點對（加強版） 列舉每一個點，K-D Tree找最近點，並記錄最小值即可，複雜度 \(\Theta(n^{\frac32})\)

Luogu P6247 [SDOI2012]最近最遠點對 同上題，只是多了一個最遠點

Luogu P4357 [CQOI2016]K 遠點對 注意到 \(k\) 很小，直接暴力把所有點的最遠的 \(k\) 個點放入大小為 \(k\) 小根堆，最後堆頂就是答案

Luogu P4169 天使玩偶/SJY擺棋子 帶插入K-D Tree板子，對於每個給定點找最近點曼哈頓距離就行

該文為本人原創，轉載請註明出處

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