【LeetCode-數學】剪繩子
題目描述
給你一根長度為 n 的繩子，請把繩子剪成整數長度的 m 段（m、n都是整數，n>1並且m>1），每段繩子的長度記為 k[0],k[1]...k[m-1] 。請問 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘積是多少？例如，當繩子的長度是8時，我們把它剪成長度分別為2、3、3的三段，此時得到的最大乘積是18。
示例：
輸入: 2
輸出: 1
解釋: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
輸入: 10
輸出: 36
解釋: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
說明：
- 2 <= n <= 58；
- 該題是《劍指Offer》的第 14 題；
題目連結： https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof/
思路
將長度為 n 的繩子分成 a 段：
\[n = n_1 + n_2+n_3+\dots+n_a \]
使得，每段長度的乘積最大：
\[max(n_1 \times n_2 \times n_3 \times \dots \times n_a) \]
因為
上面的不等式當 \(n_1=n_2=\dots=n_a\) 時等式成立，也就是說均分長度為 n 的繩子時，得到的乘積最大。均分多少段才能得到最大值呢？假設均分為 a 段，每段的長度為 x，也就是 \(n = ax\)，那麼每一段的乘積為：
\[x^a = x^{\frac{n}{x}} = (x^{\frac{1}{x}})^n \]
因為 n 是確定的，所以最大化 \((x^{\frac{1}{x}})^n\)，就等於最大化 $ x^{\frac{1}{x}} $，我們對 \(x^{\frac{1}{x}}\) 取對數得到 \(\frac{1}{x} \ln x\)，最大化 \(x^{\frac{1}{x}}\) 就等於最大化 \(\frac{1}{x} \ln x\)，我們對 \(\frac{1}{x} \ln x\) 求導可得：
\[\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2} \ln x \\ = \frac{1- \ln x}{x^2} \]
令上式為 0，可以得到 \(1-\ln x=0\)，所以 x = e = 2.7.....，由於每段的長度 x 必須為整數，所以 x 為 2 或者 3 比較好。因為 \(3^{\frac{1}{3}}>2^{\frac{1}{2}}\)，所以每段的長度為 3 最好。
我們可以得出以下結論：
- 最優長度：3。把繩子儘可能切為多個長度為 33 的片段，留下的最後一段繩子的長度可能為 0，1，2 三種情況。
- 次優長度：2。若最後一段繩子長度為 2 ；則保留，不再拆為 1 + 1。
- 最差長度：1。若最後一段繩子長度為 1 ；則應把一份 3 + 1 替換為 2 + 2，因為 2 x 2 > 3 x 1。
所以演算法如下：
- 如果繩子的長度 n 小於等於 3，因為必須要對繩子進行切分，所以我們將繩子分為 n-1 和 1 兩部分，返回 n-1；
- a = n/3，b = n%3，表示 n 能切分成 a 段長度為 3 的繩子，並且最後一段繩子的長度為 b；
- 如果 b==0，表示 n 能被 3 整除，返回 \(3^a\)；
- 如果 b==1，說明最後一段的長度為 1，則要將 3 + 1 轉換為 2 + 2，所以返回 \(3^{a-1}*4\)；
- 如果 b==2，說明最後一段的長度為 2，則返回 \(3^a*2\)；
程式碼如下：
class Solution {
public:
int cuttingRope(int n) {
if(n<=3) return n-1;
int a = n / 3;
int b = n % 3;
if(b==0) return pow(3, a);
if(b==1) return pow(3, a-1) * 4;
if(b==2) return pow(3, a) * 2;
return 0; // 不會執行到這一步
}
};
- 時間複雜度：O(1)
- 空間複雜度：O(1)