尋找斐波那契數列最優解(C++)
因為在刷《劍指offer》的時候又又又又遇到了這個題，腦子裡響起了“塔塔開，不塔塔開就無法勝利啊！”，於是我準備好好把斐波那契數列弄明白，然後此文就誕生了。
斐波那契數列簡介
斐波那契數列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數列，因數學家萊昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，指的是這樣一個數列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……
在數學上，斐波那契數列以如下被以遞推的方法定義：
F(0)=0
F(1)=1
F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N）**
演算法部分
一、原版遞迴
long long fibonacci(unsigned int n) {
long long f[2] = {0, 1};
if(n<2)return f[n];
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
}
n = 5
n = 40(嘗試了一下n=100，結果渣機在兩分鐘之內沒跑出來)
#include<iostream> using namespace std; int main(void) { long long out = fibonacci(40); cout << out; return 0; }
消耗時間：0.9454s
當n比較小的時候，運算還是比較愉快的~
但是當n比較大的時候事請就變得嚴重了~
\[time(40)\approx 11*time(5) \]那麼，為什麼呢？
其實斐波那契數列的遞迴過程可以看作一棵完全二叉樹的建立（以n=5為例）：
最後f[5] = f[1] + f[0] + f[1] + f[1] + f[0] + f[1] + f[0] + f[1] = 1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 = 5
我們發現，有好多沒必要的重複計算出現。
比方說f(2)已經求出來了，但是我沒有儲存這個結果，於是計算機就得再求一遍，那麼時間就會增加，這好嗎？這不好！
這個例子f(2)求了3遍 f(3)求了2遍，而求f(5)只需要分別求1遍f(4),f(3),f(2)。
這樣遞迴相當於浪費了一半的時間！
於是捏，我們就可以把已經求過了的f給存起來，給計算機減負。
二、尾遞迴（存值版遞迴）
long long fibonacci(int f0,int f1,unsigned int n) {
if(n > 0) {
return fibonacci(f0+f1,f0,n-1);
}
return f0;
}
n = 40
#include<iostream>
using namespace std;
int main(void) {
long long out = fibonacci(0,1,5);//當然f0=0,f1=1咯，帶進去就好了
cout << out;
return 0;
}
消耗的時間：0.2618s
三、雙指標快取（存值版非遞迴）
long long fibonacci(unsigned int n) {
long long f[100000] = {0, 1};
if(n<2)return f[n];
for(size_t i=2;i<=n;i++){
f[i] = f[i-1] + f[i-2];//每一次迴圈記錄下新的f的值，不重複計算
}
return f[n];
}
n = 40
#include<iostream>
using namespace std;
int main(void) {
long long out = fibonacci(40);
cout << out;
return 0;
}
消耗時間：0.1321s
存下值後再進行計算是不是快了很多！！！
但是，俗話說得好，活到老，學到老。
所以有沒有更快、更強的方法呢？
別急，馬上安排上！
四、二階矩陣
這個演算法的時間複雜度為log(n)，但前提是你要有一點點線代的知識，什麼，你說沒有？那我現場教你！
在數學中，矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合，最早來自於方程組的係數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。
矩陣求值：
好了教完了，以上知識均來自於百度，但是我為什麼要教你呢？因為你如果不懂這些的話大概率不會自學，不自學就不會往下看，不往下看我就不能裝13，裝不了13我就會很難受，所以為了我能裝13，我必須教大家這個。
首先有這樣一個這個公式：{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1
不知道也很簡單，自己證明一下，上面的知識加上你高中數學知識足夠證明出來。
有了這個公式，要求f(n)，我們只需要求矩陣{1, 1, 1,0}的(n-1)次方。
但是如果我們從0開始迴圈，n次方仍然需要n次運算，和存值版沒啥大的區別。
但是！他是乘方啊，乘方就可以分成兩半，這樣我們就不需要n的時間複雜度了，而是二分法所帶來的趨於log(n)的時間複雜度！！！！
別懵，我來舉個例子。
比方說你要求：26
普通人：2 * 2 = 4
4 * 2 = 8
8 * 2 = 16
16 * 2 = 32
32 * 2 = 64
二分人：22 = 2 * 2 = 4
23 = 22 * 2 = 8
26 = 23 * 23 = 8 * 8 = 64
普通人算了五次，而二分人只算了三次
瞭解了這些之後我們直接上程式碼！
struct Matrix2By2//2x2矩陣
{
Matrix2By2(long long m00 = 0, long long m01 = 0, long long m10 = 0, long long m11 = 0):m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11){}//初始化二元矩陣的四個元素
long long m_00;
long long m_01;
long long m_10;
long long m_11;
};
Matrix2By2 MatrixMultiply(const Matrix2By2& matrix1, const Matrix2By2& matrix2){
return Matrix2By2(matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
}//矩陣乘法
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
Matrix2By2 matrix;
if(n == 1)
{
matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
}
else if(n % 2 == 0)
{
matrix = MatrixPower(n / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
}
else if(n % 2 == 1)
{
matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
}
return matrix;
}//矩陣乘方
int fibonacci(unsigned int n) {
int result[2] = {0, 1};
if(n <= 2)return result[n];
Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n-1);
return PowerNMinus2.m_00;//返回的就是f[n],記不得可以回去看下公式
}
n=40
int main(void) {
long long out = fibonacci(40);
cout << out;
return 0;
}
消耗時間：0.09125s
太帥了！
試試之前那哥們兒算不出來的n=100
int main(void) {
unsigned long long out = fibonacci(100);//不加unsigned就溢位啦，可想而知斐波那契數列的威力巨大
cout << out;
return 0;
}
消耗時間：0.1228s
emmmm~
算你勉強合格吧！
大家要好好吃飯，每天都要開開心心的！