傳送門

題意

給定一棵 \(n\) 個點的有根樹。初始有 \(2\) 個人在根結點。每 \(1\) 秒內，每個人要麼走向某個兒子，要麼停在原地不動。當兩人都在某個結點上時，其中一人可以立即傳送到另一個人的位置上。最後要求每個結點都被至少經過一次，問總共花費的最小時間。

\(n \le 5\times10^6\)。

分析

先說一個樣例，可以卡掉若干個假演算法：有兩根長筷子粘在根上，且靠近根的一端有一些毛刺。答案應該是比一根筷子的長度多一點，而有些演算法會給出接近兩根筷子的長度。

考慮問題的子狀態：兩人位於同一點上。此時子樹外的點必然已經被遍歷過，我們只要考慮子樹內花費的最小時間。為了簡化問題，我們用逆向思維，考慮最多能省下多少時間。這樣我們預設初始方案的用時為整棵樹的葉子結點深度之和。

設 \(f_u\) 為子樹答案，\(e_u\) 為子樹中的葉子個數。我們列舉下一次集合的地點 \(v\)，注意 \(v\) 不一定是 \(u\) 的兒子。那麼最優策略一定是：留一個人呆在 \(u\)，另一個人把 \(v\) 子樹外的結點逛完後傳到 \(v\)。注意最後逛到的葉子深度越大越優，因為最後一次逛不用傳回 \(u\)，而逛的時候之前乾等的人就可以開始向 \(v\) 走了。設 \(d_v\) 為 \(v\) 的深度，\(d_m(u, v)\) 為 \(u\) 子樹內、\(v\) 子樹外的最深葉子的深度。那麼可以寫出轉移式：

直接做是 \(O(n^2)\)

更強地，\(v\) 只需轉移到滿足 \(d_m(u, v) \ge d_v\) 的最深的 \(u\)。這個可以反證得到，假設 \(v\) 還會轉移給更淺的祖先 \(w\)，那麼一定可以讓 \(v\)

那麼我們只要找到每個 \(v\) 對應的 \(u\) 即可。接下來的做法就五花八門了，我寫的是長鏈剖分。從下往上考慮一條長鏈，維護一個棧，每次把當前的 \(v\) 加入棧頂。當出現短兒子時，我們只要彈掉深度不超過某個數的 \(v\) 即可。最終棧裡還剩下一些點，那麼它們一定是轉移給鏈頂的父親。

因為要先算短兒子再算長兒子，我一開始直接寫了遞迴，然後就 MLE 了。因此要用計數排序預處理出 dfn，再非遞迴地算，這樣才能通過（口區）。

遞迴版

非遞迴版