樹的重心入門
阿新 • • 發佈：2020-07-13
- 樹的重心：對於一棵\(n\)個結點的無根樹，找到一個點，使得把樹變成以該點為根的有根樹樹時，最大子樹的結點數最小。刪去重心後，生成的多棵樹儘可能平衡。
- 性質：
- 性質 1：樹中所有點到某個點的距離和中，到重心的距離和是最小的，如果有兩個重心，他們的距離和一樣。
- 性質 2：把兩棵樹通過某一點相連得到一顆新的樹，新的樹的重心必然在連線原來兩棵樹重心的路徑上。
- 性質 3：一棵樹新增或者刪除一個節點，樹的重心最多隻移動一條邊的位置。
- 性質 4：一棵樹最多有兩個重心，且相鄰。
- 模板詳解：核心\(dfs\)程式碼
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1 ll minl=inf,ans; 2 /* 3 sz陣列表示以當前節點為根,向下的子樹的節點數目
4 dp陣列表示以當前節點為根,子樹中最大節點數目是多少 5 */ 6 7 void dfs(int u,int fa){ 8 sz[u]=1; 9 for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nxt){ 10 int v=edge[i].to; 11 if( v!=fa ){//無向圖,不加這個會成環 12 dfs(v,u); 13 sz[u]+=sz[v];//回溯加一下 14 dp[u]=max(dp[u],sz[v]);//每次遍歷完一棵子樹都比較 15} 16 } 17 18 dp[u]=max(dp[u],n-sz[u]);//不要忽略向上的節點個數,比較完之後便是當前節點的最大子樹節點 19 if( minl>dp[u]){ 20 minl=dp[u]; 21 ans=u; 22 } 23 }
- 入門例題：here
- 題意：求刪除這個點後最大子樹的節點數，以及這個點的編號，如果有多個點滿足，求編號最小的點。
- AC_Code:
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1 #include <iostream> 2 #include <string.h> 3
#include <stdio.h> 4 5 using namespace std; 6 const int maxn = 20005; 7 const int inf = 0x3f3f3f3f; 8 9 int head[maxn]; 10 int sz[maxn]; 11 int cnt,n; 12 int ans,siz; 13 14 struct Edge{ 15 int to; 16 int nxt; 17 }; 18 19 Edge edge[2*maxn]; 20 21 void Init(){ 22 cnt=0; 23 siz=inf; 24 memset(head,-1,sizeof(head)); 25 } 26 27 void add(int u,int v){ 28 edge[cnt].to = v; 29 edge[cnt].nxt = head[u]; 30 head[u] = cnt++; 31 } 32 33 void dfs(int u,int fa) 34 { 35 sz[u]=1; 36 int tmp=0; 37 for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nxt){ 38 int v=edge[i].to; 39 if(v!=fa){ 40 dfs(v,u); 41 sz[u]+=sz[v]; 42 tmp=max(tmp,sz[v]); 43 } 44 } 45 tmp=max(tmp,n-sz[u]); 46 if(tmp<siz || (tmp==siz && u<ans)){ 47 ans=u; 48 siz=tmp; 49 } 50 } 51 52 int main() 53 { 54 int t; 55 scanf("%d",&t); 56 while(t--){ 57 Init(); 58 scanf("%d",&n); 59 for(int i=1;i<=n-1;i++){ 60 int u,v; 61 scanf("%d%d",&u,&v); 62 add(u,v);add(v,u); 63 } 64 dfs(1,0); 65 printf("%d %d\n",ans,siz); 66 } 67 return 0; 68 }