正題

題目連結:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/24346/L

題目大意

有一張\(2n\)個點的完全圖，在上面刪除一棵生成樹，然後求這張圖的完全匹配方案數。

\(1\leq n\leq 2000\)

解題思路

考慮容斥，可以\(dp\)出\(f_{i,j,0/1}\)表示\(i\)的子樹中有\(j\)條邊必須匹配，當前點有/沒有匹配的方案，這個可以通過列舉子樹大小做到\(O(n^2)\)

然後除了已經匹配的點，剩下的點可以任意匹配，考慮\(2n\)個點的完全圖的匹配方案，我們可以先選出\(n\)個點放在左邊，然後剩下的任意匹配，但是注意到會重複，每一邊都可以選擇交換，所以會被算重\(2^n\)

然後如果指定了\(k\)條邊必選那麼容斥係數就是\((-1)^k\)就好了。

時間複雜度：\(O(n^2)\)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=4100,P=998244353;
struct node{
	ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,tot,ls[N],fac[N],inv[N],pw[N];
ll f[N][N/2][2],g[N/2][2],siz[N],ans;
void addl(ll x,ll y){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;return;
}
void dfs(ll x,ll fa){
	siz[x]=1;f[x][0][0]=1;
	for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
		ll y=a[i].to;
		if(y==fa)continue;
		dfs(y,x);
		for(ll j=0;j<=(siz[x]+siz[y])/2;j++)g[j][0]=g[j][1]=0;
		for(ll j=0;j<=siz[x]/2;j++)
			for(ll k=0;k<=siz[y]/2;k++){
				(g[j+k][0]+=f[x][j][0]*(f[y][k][0]+f[y][k][1])%P)%=P;
				(g[j+k][1]+=f[x][j][1]*(f[y][k][0]+f[y][k][1])%P)%=P;
				(g[j+k+1][1]+=f[x][j][0]*f[y][k][0]%P)%=P;
			}
		siz[x]+=siz[y];
		for(ll j=0;j<=siz[x]/2;j++)
			f[x][j][0]=g[j][0],f[x][j][1]=g[j][1];
	}
	return;
}
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
ll Mac(ll n)
{return C(n*2,n)*fac[n]%P*pw[n]%P;}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);n=n*2;
	fac[0]=inv[0]=inv[1]=pw[0]=1;
	for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;
	for(ll i=1;i<N;i++)pw[i]=pw[i-1]*inv[2]%P;
	for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;
	for(ll i=1;i<n;i++){
		ll x,y;
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		addl(x,y);addl(y,x);
	}
	dfs(1,0);
	for(ll i=0;i<=n/2;i++){
		ll w=(f[1][i][0]+f[1][i][1])%P;
		w=w*Mac(n/2-i)%P;
		(ans+=(i&1)?(P-w):w)%=P;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}