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題目大意

給定 \(m\) 個區間，有 \(n\) 次詢問，每次給定 \(k_i\) 個點(\(\sum{k_i}\leq 10^5\))，問 \(m\) 區間 \([l_j,r_j]\) 中，將區間中的所有點排序後 \(r_j-l_j+\sum{i\times a_i}\) 的最大值。這裡 \(i\) 表示排序後的位置。

題解

考慮一個性質：如果一個區間包含另一個區間，那麼被包含的區間無論如何都不會最優。

將這些區間去掉，同時將剩下區間按左端點排序，可以發現右端點也是單調遞增的。

接下來再考慮一個性質：將 \(a_i\) 從小到大排序後，如果某些區間都只包含了同一段 \(a_i\)，那麼取最長的區間最優。

這個其實很明顯，因為價值中關於 \(a_i\) 的部分只要被區間覆蓋，就與區間的其他部分無關。所以只需長度最大即可。

很顯然找到覆蓋一個區間的最長區間本質就是一個二維數點的變型（求某個矩形中的最大值），怎麼寫都行。

那麼接下來問題就是找到最優的 \(a_i\) 被覆蓋區間是那一段。

首先有一個特別顯然的雙指標的演算法，即每次固定左端點 \(a_l\)，向右找到最遠一個能夠被某個區間包含的 \(a_r\)，然後再將左端點向右移動一步，繼續移動右端點。

但是這個貪心其實是有問題的。考慮這個例子：

1 2
1 100 2 100000
4 1 2 3 100001

（上述黃點表示 \(a_i\)，藍線表示區間）

可以發現這種情況下，首先雙指標會掃到 \(a_1,a_2,a_3\)

所以考慮二分：雖然區域性最優解的位置隨 \(a_l\) 移動不是單調遞增的，但是固定 \(a_l\) 後最優解 \(a_r\) 的位置是可二分的，因為顯然假如一個區間包含了 \(a_l\)~\(a_r\)，那麼顯然也包含了 \(a_l\)~\(a_{r-1}\)。所以滿足可二分性。

然後直接查詢時間複雜度 \(O(n\log^2 n)\)，用ST表優化後可以達到 \(O(n\log n)\)