題解-Sakuya's task
題面
\[\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \varphi(\gcd(i,j))\right)\bmod 10^9+7 \]
資料範圍:\(1\le n\le 10^{10}\)。
蒟蒻語
考場爆零真開森。
本來以為要卷 \(1*1\),沒想到真要卷 \(1*1\),只不過要一個一個卷……
考場上還以為要洲閣。 \(\tt Min\_25\)
正解
先莫反操作一發:
\[\begin{split} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \varphi(\gcd(i,j))\\ =&\sum_{d=1}^n \varphi(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\epsilon(\gcd(i,j))\\ =&\sum_{d=1}^n\varphi(d)\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(k)\lfloor\frac{n}{dk}\rfloor^2\\ =&\sum_{T=1}^n\lfloor\frac{n}{T}\rfloor^2\sum_{d|T}\varphi(d)\mu(\frac{T}{d})\\ \end{split} \]
整除分塊左邊,右邊杜教。
第一次杜教:\(f_1=\varphi\),\(g_1=1\),\(f_1*g_1=id\)。
第二次杜教:\(f_2=\varphi*\mu\),\(g_2=1\),\(f_2*g_2=\varphi=f_1\)。
求 \(f_2\) 會多次呼叫 \(f_1\),但是內部呼叫的函式 \(x\) 集相等,所以可以一起求:
//Dusieve bool vis[iN+1]; int duphi[iN+1],dupm[iN+1]; int Phi(ll x){return x<=N?phi[x]:duphi[n/x];} int Pm(ll x){return x<=N?pm[x]:dupm[n/x];} void Dusieve(ll x){ if(x<=N||vis[n/x]) return; vis[n/x]=true; for(ll l=2,r;l<=x;l=r+1){ r=x/(x/l),Dusieve(x/l); (duphi[n/x]-=(ll)(r-l+1)*Phi(x/l)%mod)%=mod; (dupm[n/x]-=(ll)(r-l+1)*Pm(x/l)%mod)%=mod; } (duphi[n/x]+=(ll)x%mod*(x%mod+1)/2%mod)%=mod; (dupm[n/x]+=duphi[n/x])%=mod; (duphi[n/x]+=mod)%=mod,(dupm[n/x]+=mod)%=mod; }
還有個問題:怎麼線性篩 \(\varphi*\mu\)?
其實可以狄利克雷字首和一下,但是這裡有個更妙的方法:
\(\mu\) 與 \(\varphi\) 為積性,\(\varphi*\mu\) 必為積性。
根據 \(\mu\) 函式的性質與找規律可得:
\[(\varphi*\mu)(1)=1\\ (\varphi*\mu)(p)=p-2\\ (\varphi*\mu)(p^2)=p(\varphi*\mu)(p)+(\varphi*\mu)(1)\\ (\varphi*\mu)(p^3)=p(\varphi*\mu)(p)\\ \]
然後根據積性函式性質,就可以線性篩了。
時間複雜度 \(\Theta(n^{\frac{2}{3}})\)
程式碼
取模坑死蒟蒻,細節會有註釋。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define x first
#define y second
#define be(a) a.begin()
#define en(a) a.end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
//Data
const int mod=1e9+7;
ll n; int ans;
//Sieve
const int N=1e7,iN=1e3;
bool np[N+1];
int phi[N+1],pm[N+1],cnt,p[N];
void Sieve(){
np[1]=true,phi[1]=pm[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++){
if(!np[i]) p[cnt++]=i,phi[i]=i-1,pm[i]=i-2;
for(int j=0;j<cnt&&i*p[j]<=N;j++){
np[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0){
phi[i*p[j]]=(ll)phi[i]*p[j]%mod;
if((i/p[j])%p[j]==0) pm[i*p[j]]=(ll)pm[i]*p[j]%mod;
else pm[i*p[j]]=((ll)pm[i]*p[j]+pm[i/p[j]])%mod;
break;
}
phi[i*p[j]]=(ll)phi[i]*phi[p[j]]%mod;
pm[i*p[j]]=(ll)pm[i]*pm[p[j]]%mod;
}
}
for(int i=2;i<=N;i++)
(phi[i]+=phi[i-1])%=mod,(pm[i]+=pm[i-1])%=mod;
}
//Dusieve
bool vis[iN+1];
int duphi[iN+1],dupm[iN+1];
int Phi(ll x){return x<=N?phi[x]:duphi[n/x];}
int Pm(ll x){return x<=N?pm[x]:dupm[n/x];}
void Dusieve(ll x){
if(x<=N||vis[n/x]) return;
vis[n/x]=true;
for(ll l=2,r;l<=x;l=r+1){
r=x/(x/l),Dusieve(x/l);
(duphi[n/x]-=(ll)(r-l+1)*Phi(x/l)%mod)%=mod;
(dupm[n/x]-=(ll)(r-l+1)*Pm(x/l)%mod)%=mod;
}
(duphi[n/x]+=(ll)x%mod*(x%mod+1)/2%mod)%=mod;
(dupm[n/x]+=duphi[n/x])%=mod;
(duphi[n/x]+=mod)%=mod,(dupm[n/x]+=mod)%=mod;
}
//Main
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n;
Sieve(),Dusieve(n);
// cout<<Pm(n)<<'\n';
for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){
r=n/(n/l);
(ans+=(ll)(n/l%mod)*(n/l%mod)%mod*(Pm(r)-Pm(l-1)+mod)%mod)%=mod;
/*
杜教篩是在開始整除分塊前開始的,但是為什麼這裡可以直接Pm呼叫呢?
蒟蒻的回答:因為杜教篩內部處理了所有n的整除分塊的答案。
*/
}
cout<<ans<<'\n';
return 0;
}
祝大家學習愉快!