ggg 目錄

• 並集和交集的性質
  • 性質 1
  • 性質 2
  • 性質 3
  • 性質 4
  • 性質 5
• 德摩根律
  • 在邏輯學中的類似定理
  • 定理本身與對其的證明

---

並集和交集的性質

性質 1

\(A\subset (A\cup B)\) 且 \(A \supset (A\cap B)\)

證明：

若 \(x\in A\)，則 \(x\in A\) 或 \(x\in B\)，故第一個結果成立。

若 \(x\in (A\cap B)\)，則 \(x\in A\) 且 \(x \in B\)，則 \(x \in A\)，故第二個結果成立。

性質 2

當且僅當 \(A\cup B = B\) 時 \(A\subset B\)

證明：

右到左： 假設 \(A\sub B\)

，嘗試證明 \(A\cup B\sub B\) 且 \(A\cup B\supset B\)。

由於假設 \(A\sub B\)，那麼 \((A\cup B)\sub (B\cup B)\)，即 \(A\cup B\sub B\)；

而 \(A\cup B\supset B\) 是顯然成立的。

左到右： 假設 \(A\cup B = B\)，顯然 \(A\sub (A\cup B) = B\)。

性質 3

當且僅當 \(A\cap B = A\) 時 \(A\sub B\)

證明：

右到左： 假設 \(A\sub B\)，嘗試證明 \(A\cap B\sub A\) 和 \(A\cap B \supset A\)

。

\(A\cap B\sub A\) 顯然成立；由於 \(A\sub B\)，那麼

若有 \(x\in A\)，則 \(x\in B\)，即 \(x\in A\) 且 \(x\in B\)，故 \(A\cap B\supset A\) 成立。

左到右： 假設 \(A\cap B = A\)，顯然 \(B\supset (A\cap B)\)，即 \(A\sub B\)。

性質 4

對於任意 \(n\in N\)，有：

\[A\cup(B_1\cap B_2\cap\cdots \cap B_n) = (A\cup B_1)\cap(A\cup B_2)\cap\cdots\cap(A\cup B_n) \]

即，並集具有對交集的分配律。

證明：

要證明的東西可以寫成：

\[A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right) = \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i) \]

等價於證明：

\[A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right) \sub \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i) \]

和：

\[A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right) \supset \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i) \]

第一個式子：

令 \(x\in A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)\)，如果 \(x\in A\)，那麼顯然對於任意 \(B_i\)，\(x\in (A\cup B_i)\)，那麼 \(x\in \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i)\)；如果 \(x\in\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)\)，那麼對於任意 \(B_i\)，\(x\in B_i\)，\(x\in(A\cup B_i)\)，也成立。

第二個式子：

令 \(x\in\bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i)\)，那麼對於任意 \(i\)，\(x\in(A\cup B_i)\)。

若 \(x\in A\)，那麼 \(x\in A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)\);

若 \(x\in B_i\)，那麼 \(x\in \left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)\)，也成立。

性質 5

\[A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right) = \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i) \]

即交集具有對交集的分配律。

證明：

令 \(x\in A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)\)，則 \(x\in A\) 且 \(x\in \left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)\)，故而必然有某個 \(i\) 使得 \(x\in (A\cap B_i)\)，故而 \(x\in \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\)，這就證明了\(A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right) \sub \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\)

令 \(x\in \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\)，即 \(x\in A\)，而且存在某個 \(i\) 使得 \(x\in B_i\)，故而 \(x\in \left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)\)，故而 \(x\in A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)\)，這就證明了 \(A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right) \supset \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\)

德摩根律

在邏輯學中的類似定理

對於兩個命題 \(\bf A\) 和 \(\bf B\)，有：

\[\neg({\bf A}\or{\bf B}) \Longleftrightarrow (\neg{\bf A})\and(\neg{\bf B})\\ \neg({\bf A}\and{\bf B}) \Longleftrightarrow (\neg{\bf A})\or(\neg{\bf B}) \]

大聲讀出來就可以明白正確性。

定理本身與對其的證明

令 \(E_{\alpha}\) 表示任意一族集合，令所有 \(E_{\alpha}\) 都是集合 \(X\) 的子集，在下文中以 \(E_{\alpha}^C\) 來表示在 \(X\) 中 \(E_{\alpha}\) 的補集。

定理：

\[\left(\bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C = \bigcap_{\alpha}E_{\alpha}^C\\ \left(\bigcap_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C = \bigcup_{\alpha}E_{\alpha}^C \]

證明：

以 \(\left(\bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C = \bigcap_{\alpha}E_{\alpha}^C\) 為例，實際上可以用之前無數次證明中所使用的定理 \(A=B\Longleftrightarrow A\sub B\and A\supset B\) 來證明，但也可以使用上文提到的 \(\neg({\bf A}\or{\bf B}) \Longleftrightarrow (\neg{\bf A})\and(\neg{\bf B})\) 來證明，具體過程是：

設命題 \({\bf P}(x,\alpha)\) 表示 \(x\in E_{\alpha}\)，那麼 \(x\in\left(\bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C\) 這個命題就等價於 \(\neg \left(\bigvee_{\alpha}{\bf P}(x,\alpha)\right)\)，當然有一些邏輯上的邊界需要處理，比如 \(x\notin E_{\alpha}\) 實際上表示 \(x\notin E_{\alpha} \and x\in X\)，但無傷大雅，藉此，定理就得證了。