Acwing 1082 數字遊戲 [數位DP詳解+模板]

數位 DP 問題往往都是這樣的題型，給定一個閉區間\([L,R]\)，讓你求這個區間中滿足某種條件的數的總數。

字首和思想，轉化為\(f([0,R])-f([0,L-1])\)求解。

轉化成求\(f(N)\)，將上限N轉化成10進位制（根據題意轉化為K進位制，一般是十進位制），列舉從最高位開始列舉N的10進位制的每一位，只要該位的取值小於N的10進位制對應位的取值，那麼這個數必然小於等於N。

一般使用DFS求解。

inline int dfs(int pos,int pre,bool limit,bool lead)一般要記錄當前在處理哪一位，當前位前一位的相關資訊，當前位是否有上限限制，當前位是否有前導0限制（最高位不能取0）

//limit向下一位傳遞的條件
limit==1&&i==a[pos] //當前位有限制，並且當前位取到了限制下的最大值

//lead向下一位傳遞的條件
lead==1&&i==0 //當前位有前導0限制（當前位不能取0），並且當前位取的就是0

例題 Acwing 1082 數字遊戲

題意

求[X,Y]中的數，滿足數字從左到右非下降關係的數的個數，如：123,445.

思路

數位dp經典題。

字首和思想，轉化為\(f([0,R])-f([0,L-1])\)求解。

轉化成求\(f(N)\)，將上限N轉化成10進位制（根據題意轉化為K進位制，一般是十進位制），列舉從最高位開始列舉N的10進位制的每一位，只要該位的取值小於N的10進位制對應位的取值，那麼這個數必然小於等於N。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//f[i][j]表示前i位，第i+1位為j時的滿足條件的數的總數
//同時充當標記陣列，DFS使用記憶化搜尋，一般將f[][]初始化為-1,遞迴過程中如果出現f[i][j]!=-1，表示這個狀態已經搜尋過，直接返回答案
//本題只需要記錄一個值（數的個數），如果一個狀態需要記錄多個值，f陣列定義為結構體
int f[12][12];

int a[12];//用於儲存上限N的K進位制下的每個數

inline int dfs(int pos,int pre,bool limit){//pos表示當前處理的位，per記錄前一位的資訊，這裡是記錄前一位的值，limit表示當前位是否有上限的限制
    if(!pos)return 1;//遞迴出口
    
    if(!limit&&f[pos][pre]!=-1)return f[pos][pre];//當前位沒有限制，並且已經搜尋過，直接返回答案

    int up=limit?a[pos]:9;//獲取當前位的取值上限，如果有限制，上限為n的對應位的值，否則上限為9
   
    int res=0;
    for(int i=0;i<=up;++i){//列舉當前位的取值
        if(i<pre)continue;//由於要滿足不下降數的限制，如果當前位的取值比上一位小，當前位取值不合法，沒有必要處理當前位取i時後面位的取值
        
        //當前位取值合法，遞迴列舉下一位的取值，下一位上限有限制的條件是limit==1&&a==a[pos]（也就是說當前位有限制，並且當前位取了上限值。
        //比如123，百位取1，百位首先肯定是有限制的，因為百位最大取1，此時該位也取到了上限值1，那麼下一位十位也是有限制的，不能超過2）。而如果當前位取0，那麼十位就能隨便取值了0-9都能取。
        res+=dfs(pos-1,i,limit&&i==a[pos]);
    }
    
    //記憶化搜尋，只有在當前狀態沒有任何限制的時候（沒有最高位限制和前導0限制），才表示這個狀態可以通用。
    //return (limit||lead)?res:f[pos][pre]=res;
    return limit?res:f[pos][pre]=res;
}

inline int sol(int n){
    if(!n)return 1;//特殊處理n==0的情況
    
    memset(f,-1,sizeof f);//記憶化陣列兼標記陣列初始化為-1，有些狀態可能本來就是0，所以初始化為-1

    //獲取n的10進位制下的每一位
    int pos=0;
    while (n)a[++pos]=n%10,n/=10;

    return dfs(pos,-1,true);
}
int main(){
    int l,r;
    while (cin>>l>>r){
        cout<<sol(r)-sol(l-1)<<endl;//轉化為字首和求解
    }
    return 0;
}