1. 原碼、反碼、補碼簡單介紹

• 原碼、反碼、補碼都是含有一個符號位的、對帶符號數的二進位制表示，對應於同一個真值。
• 原碼帶符號位直接讀出來就是真值。
• 正數三碼合一。
• 負數的反碼為符號位不變（即保持為1），其餘位取反（相反轉換可用同樣方法）；
• 負數的補碼為符號位不變（即保持為1），其餘位取反後，對末位再加1（相反轉換可用同樣方法）。

　　進一步理解：

　　原碼：Sign-Magnitude。不妨以典型的8位二進位制為例（未做說明的話，下同），可以將8位劃分一個符號位和一個幅值區，幅值區為後7位。

　　反碼：Ones' Complement。常說的通過取反操作獲得反碼的方式，本質上來源於1的補集。-X (X為正整數)的補碼，等於1111 1111減去X的8位2進位制的原碼錶示（注意，第一個1是符號位，可參與該處所作的相減運算。因為被減數是正整數的原碼，符號位為0，用1減去這個0，結果為1，所以不必僅令後7個1減去X的原碼的後7位、然後首位保持1，而可以直接全8位參與相減）。 如-3的補碼可這樣獲得：1111 1111 - 0000 0011 = 1111 1100，這和取反操作得到的結果是一致的（取反操作的話：原碼1000 0011→符號位保持1不變，其餘各位取反1111 1100）

　　補碼：Two's complement。此處的two's指的是2^8，-X (X為正整數)的原碼，等於2^8減去X的8位2進位制的原碼錶示，也即1 0000 0000-減去X的8位2進位制的原碼錶示（注意2^8需用9位表示，且第一個1參與相減）。顯然2^8比1111 1111大1，這恰好和平時說的取反加1相一致（取反加1的說法可幫助到快速計算；2^8-X的說法有利於理解補碼運算是如何生效的 ）。

2.補碼運算是如何生效的

　　首先運算分三種：正數加正數；正數加負數；負數加負數（計算機只做加法，因為做減法的話，電子元件完成相應的物理實現需增加成本）。僅討論加數、被加數、減數、被減數的絕對值小於等於幅值區最大值的情形，如8位2進製表示法下的127。

　　1. 正加正比較簡單，略去。

　　2.正加負：為了方便，將前文所說的8位二進位制改作4位二進位制（含首位的符號位），此時0111=7即為所能表示的最大正數。

　　結果為正的情況：以5-3為例，-3的補碼是 1 0000 - 0011 =1101，上述運算說明了：在1101的基礎上，再加3（即0011）即可滿模，即滿2^4=16=1 0000，從而使後4位清0。5-3相當於（-3）+5，加5過程中，加到3時已達成滿模清0，為完成加5操作，需繼續再加2，完成加2操作後，該加法運算便完成了，恰得到0010，即+2的補碼，便在計算機中完成了5-3=2的運算。

　　結果為負的情況：以3-5為例。首先細述一遍運算過程：-5的補碼是 1 0000 - 0101 =1011，（-5）+3：1011 + 0011 = 1110，1110首位為1，為負數，其絕對值所對應的原碼為 1 0000 - 1110 = 0010，即絕對值為2，則1110對應於-2的補碼（上述運算過程中，已先求得了結果的補碼1110，在得到該補碼其對應原碼的過程中，使用了“1 0000 - 1110 = 0010”，這對應於從真值到補碼的逆運算，該運算式得到的是真值的絕對值，將0010的首位的0變為1，即得到了真值-2。實際上，若採用取反加1法的話，可以更快完成原碼和補碼的相互轉換：都是符號位不變（即保持為1），其餘位取反後，對末位再加1，而取反加1法對於相互轉換的有效性可以從上述運算過程中體會到）。考慮“-5的補碼是 1 0000 - 0101 =1011”，顯然，“1011”基礎上加3後所得到的補碼所對應的絕對值（因為只有負數的補碼是通過上式得到的，故僅適用於1011加3後的結果小於10000情況下，不然便對應於“結果為正的情況”了），可這樣得到：令“0101”減3，得到0010，即2，則結果為-2。

　　“結果為正的情況”與“結果為負的情況”如何統一理解：B-A運算，總的來說，相當於用A在模（對於8位2進位制，為2^8=256）上挖個洞，然後用B去填。具體地，首先令模-A，得到了-A的補碼，其符號位為1。然後開始加B，（1）如果B小於A，那麼模無法填滿，-A的補碼加上B後，相加結果小於1 0000，即小於等於1111，符號位保持為1，仍保持為負數。但是相加運算使得模更接近於填滿，運算結果所對應的真值的絕對值更接近於0，負數沒那麼負了；且B越大，結果越沒那麼負，因為1 0000-（-A的補碼加上B）對應於結果的絕對值的真值，B越大，結果真值的絕對值便越小，同時考慮到結果為負數，所以說沒那麼負了；（2）如果B大於A，那麼模將填滿，-A的補碼加上B後，相加結果大於1 0000，即大於1111，滿模溢位，使得符號位由1變為0，從而使運算結果變為正數，此時B越大，運算結果所對應的真值作為一個正數其絕對值越大；（3）可以看到，利用補碼進行運算，並令符號位參與運算，能夠：滿模溢位時符號位變號，使得結果從負變為正；隨B的增大，運算結果的絕對值先減小再增大；這符合數學認知。

　　3.負加負：1xxx + 1xxx的結果必然溢位，且結果是1 0xxx還是1 1xxx中的一種，前者表示無溢位，後者表示有溢位。至於計算機識別、處理溢位的細節和負加負運算的細節，沒弄明白，故不討論

3.利用原碼、反碼進行運算的劣勢

（此處圖片，擷取於參考資料1）

參考資料：

1. 為什麼計算機採用補碼而不是原碼或反碼？ - 醉臥沙場的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/352057791/answer/876413629