換根 DP 學習筆記 & 題解【[APIO2014]連珠線】

阿新 • • 發佈：2021-12-14

概述

本題為換根 DP 經典題，比較模板，藉此題整理換根 DP。

題意簡述

今構造一棵由珠子和線構成的樹，可以通過下列方式中的一種新增一個新珠子：

將一顆新珠子和已有的一顆珠子用紅線連線起來；

將一顆新珠子插入到兩顆用紅線連線的已有珠子之間。具體地，拆除原來的紅線，並用藍線將新珠子分別與兩顆珠子相連。

每條線有一個權值。現在已經知道樹的結構和每條線的權值，但不知道每條線的顏色。你需要輸出合法的構造方式中，藍線權值和的最大值。

提示

對於拿到的這棵樹，隨便選擇一個點作為根，那麼容易發現藍線的產生只可能是下面兩種方式（形態）：

（打紅圈的是某一時刻插入的新珠子）

假如我們分類討論地 DP 子樹中的這兩種形態的藍線權值和最大值，會發現這是十分困難的。

同時，我們意識到這樣子分成兩種形態是十分生硬的，因為它們本質是一樣的。

考慮這兩種形態能否一統為一：你會發現必然存在一個節點，使得以它為根時所有的藍線都是可以以上左圖的方式構造的。

例如，樣例圖中，以 10 為根就可以實現：

題解

根據提示，我們可以進行換根 DP。即：

先進行第一輪 dfs，求出以 1 為根的時候的按上左圖方式構造最大的藍線長度和 $f_{i,0/1}$。
- $f_{i,0/1}$ 表示以 $i$ 為根的子樹內，$i$ 是不是（$1/0$）“重要點”（即上上圖中的打紅圈的點）的答案（例如上圖中 $f_{2,1}=3+2+21+8=34$）。
- $f_{i,0}=\sum_{j\in son(i)}\max(f_{j,0},f_{j,1}).$
- 由於上述轉移方式不利於後期程式碼實現，因此更改 $f_{i,1}$ 的定義：
  - 上圖中 $f_{2,1}$ 只算 $f_{2,1}=3+2+8=13$（$21$ 先不算，等 1 號點算的時候再加上）
  - 也就是說，只記錄原 $f_{i,1}$ 算的邊當中真的在 $i$ 的子樹中的部分。
- 於是 $f_{i,0}=\sum_{j\in son(i)}\max(f_{j,0},f_{j,1}+w(i,j)).$
- 寫 $v=\min_{j\in son(i)}\{\max(f_{j,0},f_{j,1}+w(i,j))-(f_{j,0}+w(i,j))\}$，則 $f_{i,1}=f_{i,0}-v$
在進行第二輪 dfs（換根），求出以不同節點為根時的答案。
- $g_{i,0/1}$ 記錄 $i$ 被某一個兒子吊起時，$i$ 子樹內的 $f_{0/1}$。注：$g_{i,0/1}$ 會根據是被哪一個兒子吊起重新計算，因此複雜度不正確，後面會優化。
- 記 $F_{0}=f,F_1=g$。
- 則有
  \[F_{1,i,0}=\sum_{j\in link(i),j\ne p}\max(F_{j=fa[i],j,0},F_{j=fa[i],j,1}+w(i,j))\\ v=\min_{j\in link(i),j\ne p}\{\max(F_{j=fa[i],j,0},F_{j=fa[i],j,1}+w(i,j)-(F_{j=fa[x],j,0}+w(i,j))\}\\ F_{1,i,1}=F_{1,i,0}-v \]
  其中 $p$ 表示吊起 $i$ 的兒子，$link(i)$ 表示與 $i$ 相連的所有點的集合，$fa[i]$ 代表以 1 為根時 $i$ 的父節點，$j=fa[i]$ 為一個 $0/1$ 值。
時間複雜度在菊花樹時可能被卡到 $O(n^2)$，無法通過。
發現每次查詢的本質其實是 $link(i)$ 除去一個元素後的 $\max(F_{j=fa[i],j,0},F_{j=fa[i],j,1}+w(i,j))$ 之和，以及 $\max(F_{j=fa[i],j,0},F_{j=fa[i],j,1}+w(i,j)-(F_{j=fa[x],j,0}+w(i,j))$ 的最小值。這種東西容易通過預處理出所求表示式的字首值和字尾值，然後算 $val_{pre}[i-1]\otimes val_{suf}[i+1]$ 來獲得，其中 $\otimes$ 表示一種合併運算，對應上面的 $+$ 或 $\min$。
這樣一來，複雜度被降到了 $O(n)$。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int n,ans,f[2][N][2],fa[N];
vector<pair<int,int> >G[N],vec[N],val[2][N];
void dfs1(int x,int p,int pe){
	fa[x]=p;
	int v=1e9;
	for(int i=0;i<G[x].size();i++){
		int y=G[x][i].first,z=G[x][i].second;
		if(y^p){
			dfs1(y,x,z);
			f[0][x][0]+=max(f[0][y][0],f[0][y][1]+z);
			v=min(v,max(f[0][y][0],f[0][y][1]+z)-(f[0][y][0]+z));
		}
	}
	f[0][x][1]=f[0][x][0]-v;
}
void calc(int x){
	int v=1e9,tot=0;
	vec[x].resize(G[x].size()+2),val[0][x].resize(G[x].size()+2),val[1][x].resize(G[x].size()+2);
	for(int i=0;i<G[x].size();i++){
		int y=G[x][i].first,z=G[x][i].second;
		vec[x][++tot]=G[x][i];
		f[1][x][0]+=max(f[y==fa[x]][y][0],f[y==fa[x]][y][1]+z);
		v=min(v,max(f[y==fa[x]][y][0],f[y==fa[x]][y][1]+z)-(f[y==fa[x]][y][0]+z));
	}
	val[0][x][0]=val[1][x][tot+1]=make_pair(0,1e9);
	for(int i=1;i<=tot;i++){
		int y=vec[x][i].first,z=vec[x][i].second;
		val[0][x][i]=make_pair(val[0][x][i-1].first+max(f[y==fa[x]][y][0],f[y==fa[x]][y][1]+z),
		min(val[0][x][i-1].second,max(f[y==fa[x]][y][0],f[y==fa[x]][y][1]+z)-(f[y==fa[x]][y][0]+z)));
	}
	for(int i=tot;i;i--){
		int y=vec[x][i].first,z=vec[x][i].second;
		val[1][x][i]=make_pair(val[1][x][i+1].first+max(f[y==fa[x]][y][0],f[y==fa[x]][y][1]+z),
		min(val[1][x][i+1].second,max(f[y==fa[x]][y][0],f[y==fa[x]][y][1]+z)-(f[y==fa[x]][y][0]+z)));
	}
}
void upd(int x,int i){
	if(!i){
		f[1][x][0]=val[1][x][i+1].first;
		f[1][x][1]=f[1][x][0]-val[1][x][i+1].second;
	}
	else {
		f[1][x][0]=val[0][x][i-1].first+val[1][x][i+1].first;
		f[1][x][1]=f[1][x][0]-min(val[0][x][i-1].second,val[1][x][i+1].second);
	}
}
void dfs2(int x,int p,int pe,int po){
	if(p)upd(p,po);
	calc(x);
	ans=max(ans,f[0][x][0]+max(f[1][p][0],f[1][p][1]+pe));
	int tot=vec[x].size()-2;
	for(int i=1;i<=tot;i++){
		int y=vec[x][i].first,z=vec[x][i].second;
		if(y^p)dfs2(y,x,z,i);
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,u,v,w;i<n;i++){
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		G[u].push_back(make_pair(v,w));
		G[v].push_back(make_pair(u,w));
	}
	dfs1(1,0,0);
	dfs2(1,0,0,0);
	cout<<ans;
}