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題目背景

小奇採的礦實在太多了，它準備在喵星系建個礦石倉庫。令它無語的是，喵星系的貨運飛船引擎還停留在上元時代！

題目內容

喵星系有\(n\)個星球，星球以及星球間的航線形成一棵樹。

從星球\(a\)到星球\(b\)要花費\([\text{dis}(a,b)\ \text{xor}\ M]\)秒。（\(\text{dis}\)（\(a,b\)）\(表示ab間的航線長度，\)\text{xor}$為位運算中的異或）

為了給倉庫選址，小奇想知道，星球\(i\)（\(1\leq i\leq n\)）到其它所有星球花費的時間之和。

資料範圍

\(6\leq n\leq 100000,0\leq M\leq 15\)

思路

出題人：

演算法1：
不會寫函式的小夥伴們，我們只需要寫個floyd，就有10分啦！
演算法2：
在演算法1的基礎上，我們對每條邊處理一下xor，就有20分啦！
演算法3：
簡單的樹形DP，或者你會nlogn的dij，處理完每個點到其它點的最短路後再加上xor，那麼這樣就有30分啦！
演算法4：
第4、5個點無需xor，那麼我們樹形DP掃一個節點與其它所有節點的路徑長度之和，可以合併資訊，最終均攤O(1)，50分到手。
演算法5：
第6個點xor 1，那麼我們樹形DP到一個點時記錄有多少個0，多少個1，然後每當一條路徑到2，那部分就再記錄一個值，60分到手。
演算法6：
如果你第6個點都過了，卻沒有滿分，笨死啦！
一樣的嘛，就是原來的“0”、“1”、大於等於2變成了0~16麼~~
滿了。

我：？

考場上直接打的\(O(n^2)\)列舉區間再加上求\(\text{LCA}\)的複雜度的暴力，結果一時腦癱建邊的時候就異或了\(M\)結果慘掛\(10pts\)，然後考後改成最後再異或就\(30pts\)了...（~差點有比郭神高的機會呢qwq）

然後正解是換根\(dp\)，又是假期埋下的一個坑嗎

先考慮沒有異或的情況。設已經搜到了邊\(<u,v,w>\)，且\(u\)是\(v\)的父親，那麼如何更新\(ans[v]\)呢？

\[ans[v]=ans[u]+(n-size[v])\times w-size[v]\times w \]

當然你會合並同類項一下，不過先不合並理解一下，對於\(u\)

大概這個樣子：

然而本題要求異或，由我慘掛10分的經歷可以知道異或並不滿足分配律，所以並不能邊加邊異或。然而可以看出\(M\leq 15\)，轉換為二進位制為\(1111\)，所以最後異或\(M\)的時候僅會對後四位有影響，所以只需要記錄後四位的狀態即可。

設\(f[i][j]\)表示到了\(i\)點，當前後四位的狀態為\(j\)，能伸展出的路徑條數。

對於初始：\(f[u][0]=1\)，表示自己到自己為一條路徑。為了方便，你可以先加上自己然後最後減去。

然後就是\(f[u][(j+w)\ \%\ 16]+=f[v][j]\)，從子樹轉移過來。

然而出了子樹以外還有別的點，如何轉移呢？

\[f[v][(j+w)\ \%\ 16]+=(f[u][j]-f[v][(j-w)\ \%\ 16]) \]

很容易理解，對於\(v\)的父親\(u\)，先刨去子樹\(v\)的貢獻，然後剩下的就是其他點到\(u\)的貢獻，你再通過\(<u,v,w>\)邊轉移到\(v\)上，再加上原來就有的\(v\)的子樹的，就是整棵樹到\(v\)的貢獻。

最後你再異或個\(M\)即可。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int n,M;
long long f[maxn][20],ans[maxn],a[20];

struct Edge{
	int from,to,w,nxt;
}e[maxn<<1];

inline int read(){
	int x=0,fopt=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-')fopt=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;
		ch=getchar();
	}
	return x*fopt;
}

int head[maxn],cnt;
inline void add(int u,int v,int w){
	e[++cnt].from=u;
	e[cnt].to=v;
	e[cnt].w=w;
	e[cnt].nxt=head[u];
	head[u]=cnt;
}

void dfs1(int u,int fa){
	f[u][0]=1;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;
		if(v==fa)continue;
		dfs1(v,u);
		ans[u]+=ans[v];
		for(int j=0;j<=15;j++){
			int w=e[i].w;
			f[u][(j+w)%16]+=f[v][j];
			ans[u]+=f[v][j]*w;
		}
	}
}

void dfs2(int u,int fa){
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to,w=e[i].w;
		if(v==fa)continue;
		memset(a,0,sizeof(a));//臨時先開個陣列存一下，因為下面還要加siz，最好不要直接更新
		int siz=0;
		for(int j=0;j<=15;j++){
			a[(j+w)%16]+=f[u][j]-f[v][((j-w)%16+16)%16];//防止下標變負
			siz+=f[v][j];
		}
		ans[v]=ans[u]+(n-2*siz)*w;
		for(int j=0;j<=15;j++)
			f[v][j]+=a[j];
		dfs2(v,u);
	}
}

int main(){
	freopen("B.in","r",stdin);
	freopen("B.out","w",stdout);
	n=read();M=read();
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u=read(),v=read(),w=read();
		add(u,v,w);
		add(v,u,w);
	}
	dfs1(1,0);
	dfs2(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i][0]--;//刨去到自己的路徑
		for(int j=0;j<=15;j++)
			ans[i]+=((j^M)-j)*f[i][j];//加上異或後相差的值，另外還是老問題異或的優先順序
		printf("%lld\n",ans[i]);
	}
	return 0;
}