單純形法

解決的問題

單純形法可以在較短的時間（似乎是非多項式時間，但我不會證，也找不到論文，不過就是非常快）內解決線性規劃問題

形式的處理

對於一個線性規劃問題，我們可以寫作(以下的\(\,x\,\)是變數，其他都是常數，大寫字母表示矩陣)：

\[max\ z=\sum_{i=1}^nc_ix_i=CX\\ s.t.\begin{cases} \sum_{i=1}^na_{1,i}x_i\leq b_1\\ \sum_{i=2}^na_{2,i}x_i\leq b_2\\ \quad\quad\quad\cdots\\ \sum_{i=1}^na_{m,i}x_i\leq b_m\\ \forall x_i\geq0 \end{cases} \]

其中 \(n\geq m\)

，否則沒有意義

這樣的形式是不利於我們計算的，我們考慮一個更好看的形式（標準形式）：

\[max\ z=\sum_{i=1}^nc_ix_i=CX\\ s.t.\begin{cases} \sum_{i=1}^na_{1,i}x_i=b_1\\ \sum_{i=2}^na_{2,i}x_i=b_2\\ \quad\quad\quad\cdots\\ \sum_{i=1}^na_{m,i}x_i=b_m\\ \forall x_i\geq0 \end{cases} \]

當然，為了處理時的一致有序，我們把\(\,z\,\)的表示式也插入到矩陣中，並令其值為\(\,0\)，這樣這一行最後的\(\,z\,\)

就是答案的相反數（也就是說後文中的\(\,C\,\)都是“答案行”消元后的係數）

下面給出一些簡單情況的轉化方法：

如果求的是min或約束條件中出現大於等於，全部取負即可

\[\sum_{j=1}^na_{i,j}x_j\leq b_i\Longrightarrow\sum_{j=1}^na_{i,j}x_j+x_{n+1}=b_i \\x\leq0\Longrightarrow x=y-z,y-z\leq0\,\and\,y,z\geq0 \]

如此，我們就得到了標準形式的線性約束條件

單純形的處理

關於矩陣的聯想

標準形式和線性方程組很像，我們不由得聯想到高斯消元，但是線性規劃是一個狹長的矩形(上文說了，總存在\(\,n\geq m\,\)

)

這時我們就不能完全消元，只能選擇其中一個\(\,m\,\)階矩陣將其變為單位矩陣，而單純形法就是告訴我們應該選擇那些來消元

更具體的步驟

選擇基變數

要求\(\,z=CX\,\)的最大值，我們不難發現，對於任意\(\,c_i\leq0\)，我們可以直接令\(\,x_i=0\,\)（當然得保證有解）

聯絡幾何意義，線性規劃實際上就是在一個超平面上的凸包裡選擇一個點，使其座標的一個線性組合最大，那麼不難發現是凸包最外圍的“界”上的點滿足性質

而“界”的代數含義就是\(\,\exists x_i=0\)，於是我們可以讓所有我們不準備進行消元的變數為\(\,0\)，之後我們稱這樣的變數為非基變數，反之叫做基變數

顯然，我們希望基變數在\(\,C\,\)中對應的係數越大越好，因為這樣答案收斂快

不過除了第一次，在選擇基變數時也應注意解的可行性，記基變數全體為\(\,J\,\)，有定義有

\[\forall i\in J,i\geq0 \]

於是我們採用最為樸素的方法，列舉所有的\(\,x\in J\)，假設我們要將\(\,y\,\)加入\(\,J\,\)並將\(\,x\,\)刪除，那麼我們可以直接令\(\,x=0\,\)，並計算\(\,y\,\)值，代回去驗證解的可行性（注意此時除了\(\,y\,\)的非基變數依然都是\(\,0\,\)而基變數經過消元后每行只有一個），然後選擇最大的合法\(\,y\,\)值即可

在得到新的\(\,J\,\)之後，重新消元重複上述步驟

終止條件

結合上文，注意到當所有非基變數在\(\,C\,\)中對應的係數都不大於\(\,0\,\)時為最優解（值得一提的是，如果此時存在一個非基變數在\(\,C\,\)中的對應係數恰為\(\,0\)，有無窮種構造方案）

因為如果存在對應係數大於\(\,0\,\)的情況，那麼可以將其作為新的基變數，並且一定會使得答案增大

又是沒有實現的一天

如有錯誤，歡迎指正