\[\int dy=d\int y=y\\ dx=d(x+a)\\ d\ ax=a\cdot dx\\ \int f\ dx=F\Rightarrow dF=f\ dx \]

不定積分

定義

我們作為OIer，並不需要知道嚴謹的數學定義，我們只需要知道\(\,d\,\)和\(\,\int\,\)是兩種算符，這裡給出粗略的解釋：\(\,d\,\)表示微小變化量，聯絡導數的定義：\(f(x)\)在\(\,x_0\,\)處的導數為（不妨認為\(\,f(x)\,\)可導）

\[f^\prime(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow x_0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{f(x_0+dx)-f(x_0)}{dx}=\frac{df}{dx} \]

於是有

\[f^\prime=f^\prime(x)\\ df=f^\prime dx \]

這就是微積分基本定理，其中\(\,f\,\)

叫原函式

值得一提得是

\[\int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\\ \int kf(x)=k\int f(x)\\ d\ ax=a·dx \]

而\(\,\int\,\)就是\(\,d\,\)的逆運算，即滿足

\[\int dy=d\int y \]

不難推出

\[dx=d(x+a)\\ \]

這條性質其實十分重要且易忘

積分本質就是求一個函式的原函式，微分就是求原函式的對應函式，對於微分我們容易求出，對於積分，我們則需要一定的技巧

順帶一提，積分後需要加常數，顯然這是不影響微分的結果的，但這是人們常常忘記的

不定積分的求法

初等變換

主要考察初等變換能力，這裡只給出一道例題

求\(\,\int sin^2xdx\)

\[\begin{align*} &\int sin^2x\ dx\\ =&\int\frac{(1-cos2x)}{2}dx\\ =&\frac{1}{2}\int(1-cos2x)dx\\ =&\frac{1}{4}\int(1-cos2x)d2x\\ =&\frac{x}{2}+\frac{sinx·cosx}{4}+C \end{align*} \]

第一類換元法

其實就是運用微積分基本定理

\[dF=fdx \]

從右往左變換，有時可以簡化問題

舉例

\[\begin{align*} &\int \tan x\ dx\\ =&\int \frac{\sin x}{\cos x}dx\\ =&\int \frac{1}{\cos x}d\cos x\\ =&ln\mid \cos x\mid +C \end{align*} \]

第二類換元法

類似的，我們選擇從左往右計算，即把\(\,d\,\)裡的拿出去，不能理解請參考第一類換元法

依然只有一道例題

\[\begin{align*} &\int \frac{1}{x^2\sqrt {x^2+1}}dx\\ =&\int \frac{1}{x^3\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}dx\\ =&\int (\frac{1}{x})^3\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{1}{x})^2}}dx\\ =&\int u^3\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}d\frac{1}{u}\\ =&\int -\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}du\\ =&\sqrt{1+u^2}+C\\ =&\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}+C \end{align*} \]

上文中，我們令\(u=\frac{1}{x}\)，大大化簡了運算

分部積分法

這是一種神祕的方法

考慮函式乘積的求導法則：

\[(fg)^\prime=f^\prime g+fg^\prime \]

類似的，我們可以得到：

\[\int u\ dv=uv-\int v\ du \]

證明不難，在此略過

一道例題

求\(\int\frac{1}{x+1}dx\)

發現只是帶了一個常數，有

\[dx=d(x+1) \]

於是就迎刃而解了

\[\begin{align*} &\int\frac{1}{x+1}dx\\ =&\int\frac{1}{x+1}d(x+1)\\ =&ln\mid x+1\mid+C \end{align*} \]

再來一道巧妙的題目

求\(\int\frac{ln\ x}{x^3}dx\)

\[\begin{align*} A&=\int \frac{ln\ x}{x^3}dx\\ &=\int\frac{1}{x^3}d(x\cdot lnx-x)\\ &=\frac{lnx-1}{x^2}-\int(x\cdot lnx-x)d(\frac{1}{x^3})\\ &=\frac{lnx-1}{x^2}+3\int\frac{lnx-1}{x^3}dx\\ &=\frac{lnx-1}{x^2}-\frac{3}{2x^2}+3\int\frac{lnx}{x^3}dx\\ &=\frac{lnx-1}{x^2}-\frac{3}{2x^2}+3A\\ -2A&=\frac{lnx-1}{x^2}-\frac{3}{2x^2}\\ A&=-\frac{2lnx+1}{4x^2} \end{align*} \]

停不下來了，再來一題

求\(\int e^x\sin xdx\)

似乎不好直接做，考慮構造形式上“共軛”的一個積分，令

\[A=\int e^x\sin xdx\\ B=\int e^x\cos xdx \]

顯然

\[A=\int\sin xde^x\\ B=\int\cos xde^x \]

對\(\,A\,\)分部積分

\[\begin{align*} A&=\int\sin xde^x\\ &=e^x\sin x-\int e^xd\ \sin\ x\\ &=e^x\sin x-\int e^xcosxdx\\ &=e^x\sin x-B\\ A+B&=e^xsinx \end{align*} \]

再對\(\,B\,\)分部積分

\[\begin{align*} B&=\int\cos xde^x\\ &=e^x\cos x-\int e^xd\ \cos x\\ &=e^x\cos x+\int e^x\sin xdx\\ &=e^x\cos x+A\\ -A+B&=e^x\cos x \end{align*} \]

整理得

\[\begin{cases} A+B&=e^x\sin x\\ -A+B&=e^x\cos x \end{cases} \]

不難解得

\[\begin{cases} A&=\frac{\sin x-\cos x}{2}e^x\\ B&=\frac{\sin x+\cos x}{2}e^x \end{cases} \]

即

\[\int e^x\sin xdx=\frac{\sin x-\cos x}{2}e^x \]

溫馨提醒：

適度積分怡情，過度積分傷身，合理積分，請勿沉迷