python Dijkstra演算法實現最短路徑問題的方法

阿新 • • 發佈：2020-01-09

本文借鑑於張廣河教授主編的《資料結構》，對其中的程式碼進行了完善。

從某源點到其餘各頂點的最短路徑

Dijkstra演算法可用於求解圖中某源點到其餘各頂點的最短路徑。假設G=｛V，｛E｝｝是含有n個頂點的有向圖，以該圖中頂點v為源點，使用Dijkstra演算法求頂點v到圖中其餘各頂點的最短路徑的基本思想如下：

使用集合S記錄已求得最短路徑的終點，初始時S={v}。
選擇一條長度最小的最短路徑，該路徑的終點w屬於V-S，將w併入S，並將該最短路徑的長度記為Dw。
對於V-S中任一頂點是s，將源點到頂點s的最短路徑長度記為Ds，並將頂點w到頂點s的弧的權值記為Dws，若Dw+Dws<Ds，

則將源點到頂點s的最短路徑長度修改為Dw+Ds=ws。
重複執行2和3，知道S=V。
為了實現演算法，
使用鄰接矩陣Arcs儲存有向網，當i=j時，Arcs[i][j]=0；當i!=j時，若下標為i的頂點到下標為j的頂點有弧且弧的權值為w，則Arcs[i][j]=w，否則Arcs[i][j]=float(‘inf')即無窮大。
使用Dist儲存源點到每一個終點的最短路徑長度。
使用列表Path儲存每一條最短路徑中倒數第二個頂點的下標。
使用flag記錄每一個頂點是否已經求得最短路徑，在思想中即是判斷頂點是屬於V集合，還是屬於V-S集合。

程式碼實現

#構造有向圖Graph
class Graph:
  def __init__(self,graph,labels): #labels為標點名稱
    self.Arcs=graph
    self.VertexNum=graph.shape[0]
    self.labels=labels
def Dijkstra(self,Vertex,EndNode): #Vertex為源點，EndNode為終點
  Dist=[[] for i in range(self.VertexNum)] #儲存源點到每一個終點的最短路徑的長度
  Path=[[] for i in range(self.VertexNum)] #儲存每一條最短路徑中倒數第二個頂點的下標
  flag=[[] for i in range(self.VertexNum)] #記錄每一個頂點是否求得最短路徑
  index=0
  #初始化
  while index<self.VertexNum:
    Dist[index]=self.Arcs[Vertex][index]
    flag[index]=0
    if self.Arcs[Vertex][index]<float('inf'): #正無窮
      Path[index]=Vertex
    else:
      Path[index]=-1 #表示從頂點Vertex到index無路徑
    index+=1
  flag[Vertex]=1
  Path[Vertex]=0
  Dist[Vertex]=0
  index=1
  while index<self.VertexNum:
    MinDist=float('inf')
    j=0
    while j<self.VertexNum:
      if flag[j]==0 and Dist[j]<MinDist:
        tVertex=j #tVertex為目前從V-S集合中找出的距離源點Vertex最斷路徑的頂點
        MinDist=Dist[j]
      j+=1
    flag[tVertex]=1
    EndVertex=0
    MinDist=float('inf') #表示無窮大，若兩點間的距離小於MinDist說明兩點間有路徑
    #更新Dist列表，符合思想中第三條
    while EndVertex<self.VertexNum:
      if flag[EndVertex]==0:
        if self.Arcs[tVertex][EndVertex]<MinDist and Dist[
          tVertex]+self.Arcs[tVertex][EndVertex]<Dist[EndVertex]:
          Dist[EndVertex]=Dist[tVertex]+self.Arcs[tVertex][EndVertex]
          Path[EndVertex]=tVertex
      EndVertex+=1
    index+=1
  vertex_endnode_path=[] #儲存從源點到終點的最短路徑
  return Dist[EndNode],start_end_Path(Path,EndNode,vertex_endnode_path)
#根據本文上述定義的Path遞迴求路徑
def start_end_Path(Path,start,endnode,path):
  if start==endnode:
    path.append(start)
  else:
    path.append(endnode)
    start_end_Path(Path,Path[endnode],path)
  return path

if __name__=='__main__':
  #float('inf')表示無窮
  graph=np.array([[0,6,5,float('inf'),float('inf')],[float('inf'),2,8,3,7,9],0]])
  G=Graph(graph,labels=['a','b','c','d','e','f'])
  start=input('請輸入源點')
  endnode=input('請輸入終點')
  dist,path=Dijkstra(G,G.labels.index(start),G.labels.index(endnode))
  Path=[]
  for i in range(len(path)):
    Path.append(G.labels[path[len(path)-1-i]])
  print('從頂點{}到頂點{}的最短路徑為：\n{}\n最短路徑長度為：{}'.format(start,Path,dist))

輸出結果如下：