我們熟知一個度數為 \(D\) 的多項式有三種經典表示：

1. 係數表示，也就是 \(P(x) = \sum_{i=0}^D\limits c_i x^i\)。

2. 點值表示，也即給出 \(P\) 在 \(D+1\) 個不同的位置的取值 \((x_0, P(x_0)), \dots, (x_D, P(x_D))\).

3. 下降冪表示，也即定義 \(x^{\underline{i}} = x(x-1)\dots (x-i+1)\)，那麼可以把 \(P\) 寫為 \(P(x) = \sum_{i=0}^D\limits b_i x^{\underline{i}}\).

由 (1) 和 (2) 相互轉化可以使用多項式的多點求值和快速插值。

在點值表示中，如果我們的取值點是經典的前 \(D+1\) 個非負整數，也即 \(P(0),\dots,P(D)\)，那麼可以藉助二項式反演和 \(FFT\)，以 \(O(D\log D)\) 的時間在 (2) 和 (3) 之間轉化。

第一類斯特林數

我們考慮從 (3) 轉化為 (1)。為此我們考慮對任意 \(i\ge 0\)，把 \(x^{\underline{i}}\) 寫成一個 \(i\) 次多項式：

其中 \(s(i,j)\) 是我們希望求出的係數。我們可以通過遞推來求出 \(s(i,j)\)

時間複雜度為 \(O(n^2)\). 得到 \(s(\star, \star)\) 之後，我們可以在 \(O(n^2)\) 的時間內完成由 (1) 和 (3) 之間的相互轉化。

這裡的 \(s(i,j)\) 就是（有符號）第一類斯特林數。

定義 (有符號第一類斯特林數). 對任意 \(i,j\ge 0\)，定義 \(s(i,j)\) 為 \(x^{\underline{i}}\)

展開之後 \(x^j\) 一項的係數。

類似地，考慮上升冪 \(x^{\overline{i}}=x(x+1)\dots (x+i-1)\) 展開後得到的的多項式 \(x^{\overline{i}} = \sum_{j=0}^{i}\limits s_u(i,j) x^j\)

定義 (無符號第一類斯特林數). 對任意 \(i,j\ge 0\)，定義 \(s_u(i,j)\) 為 \(x^{\overline{i}}\) 展開後 \(x_j\) 一項的係數。