不懂是第幾次重修了。
現在可能比較懂了一點。
以下可能略過某些過程。

OGF

fib數列

寫作生成函式\(F(x) = x + x F(x) + x ^2 F(x)\)

\(F(x) = \frac{x}{1 - x - x^2}\)

\((1 - ax) (1 - bx) = 1 - x - x^2\)

解得 \(a = \frac{1 + \sqrt 5}{2},b = \frac{1 - \sqrt 5}{2}\)

所以有\(F(x) = \frac{1}{\sqrt 5}(\frac{1}{1 - ax} - \frac{1}{1 - bx}) = \sum \frac{a^i - b^i}{\sqrt 5} x^i\)

則有\(f_n = \frac{1}{\sqrt 5}(a^i - b^i)\)

微積分

\(\frac{d}{dx}(\sum f_nx^n) = \sum (n + 1)f_{n + 1}x^n\)
\(\int(\sum f_n x^n)dx = \sum frac{f_{n - 1}}{n} x^n + C\)

一些OGF的例子

卡特蘭數

參見淺談卡特蘭數中生成函式一節。

整數拆分

求\(\sum a_i = n(a_{i + 1}\leq a_i)\)的方案數。

\(P(x) = \prod_{i = 1}\frac{1}{1 - x^i}\)

實際上是對每個數系合併。

五邊數定理

$\prod_{i = 1}\frac{1}{1 - x^i} = \sum (-1) ^ k x ^ {k (3k \pm 1} / 2\ = 1 - x - x ^ 2 + x ^ 5 + x ^ 5 - x ^ {12

} - x ^ {15} .....$

\(P(x)\prod_{i = 1}\frac{1}{1 - x^i} = 1\)

所以有\(1 + xP(x) + x^2P(x) - x^5 - x^7P(x) .. = P(x)\)

所以有\(p_n = [n = 0] + p_{n - 1} + p_{n - 2} - p_{n - 5} - p_{n - 7}....\)

暴力列舉可以在\(O(n\sqrt n)\)內解決該問題。

EGF

鴿了。
明天來補。