最小生成樹演算法你會了嗎？
求最小生成樹
最小生成樹：
設G=(V，E)是一個無向連通網，生成樹上各邊的權值之和稱為該生成樹的代價，在G的所有生成樹中，代價最小的生成樹稱為最小生成樹。
生成樹：
一個有n個結點的連通圖的生成樹是原圖的極小連通子圖，且包含原圖中的所有n個結點，並且有保持圖連通的最少的邊。只要能連通所有頂點而又不產生迴路的任何子圖都是它的生成樹。
應用例項：
要在n個城市之間鋪設光纜，主要目標是要使這n個城市的任意兩個之間都可以通訊，但鋪設光纜的費用很高，且各個城市之間鋪設光纜的費用不同，因此另一個目標是要使鋪設光纜的總費用最低。這就需要找到帶權的最小生成樹。
1.prim演算法
prim 演算法採用的是一種貪心
樸素prim 演算法時間複雜度：O(n * n)
思路：
t<—— 找到不在集合中的距離最近的點，t從第一個節點開始用
t更新其它點到集合的距離將
t加入集合，更新權重
【題目描述】
acwing858
給定一個 n 個點 m 條邊的無向圖，圖中可能存在重邊和自環，邊權可能為負數。
求最小生成樹的樹邊權重之和，如果最小生成樹不存在則輸出
impossible。給定一張邊帶權的無向圖 G=(V,E)，其中 VV 表示圖中點的集合，EE 表示圖中邊的集合，n=|V|，m=|E|。
由 V 中的全部 n 個頂點和 E 中 n−1 條邊構成的無向連通子圖被稱為 G 的一棵生成樹，其中邊的權值之和最小的生成樹被稱為無向圖 G 的最小生成樹。
輸入格式
第一行包含兩個整數 nn 和 mm。
接下來 m 行，每行包含三個整數 u,v,w，表示點 u 和點 v 之間存在一條權值為 w 的邊。
輸出格式
共一行，若存在最小生成樹，則輸出一個整數，表示最小生成樹的樹邊權重之和，如果最小生成樹不存在則輸出
impossible。資料範圍
1≤n≤500,
1≤m≤105,
圖中涉及邊的邊權的絕對值均不超過 10000。輸入樣例：
4 5 1 2 1 1 3 2 1 4 3 2 3 2 3 4 4輸出樣例：
6
【參考程式碼】
#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 510; const int INF = 0x3f3f3f3f; int g[N][N];//儲存圖 int dist[N];//儲存各個節點到生成樹（集合）的最短距離 int st[N];//節點是否被加入到生成樹中 int n, m; int prim() { //1 memset(dist ,0x3f, sizeof dist); // 從 1 號節點開始擴充連通的部分，即disti[1] 置為 0。 dist[1] = 0; //2 int res = 0;//權重之和 for(int i = 0; i < n; i++)//迴圈n次 { //(1)找出 不屬在集合s中 && 距離集合最小的點 t int t = -1; for(int j = 1; j <= n; j++) { if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) t = j; } if(dist[t] == INF) return INF;// 若當前節點的距離為INF,則表示沒有和集合中點相連的邊。（不連通） //(3)-把點t加到集合當中去，更新權值 //寫在前面，如果一個節點本身出現負環，下面這句更新後，會影響結果，比如g[t][j],當t = j,更新了g[t][t],影響res結果 res += dist[t]; st[t] = true;// 加入集合s //(2) 用t更新其它點到集合的距離 for(int j = 1; j <= n; j++) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]); } return res; } int main() { scanf("%d%d", &n, &m); memset(g, 0x3f, sizeof g); // 輸入圖 while (m -- ) { int a, b, c; scanf("%d%d%d", &a, &b, &c); g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c); // 無向圖：可能有重邊 } int t = prim(); if(t == INF) puts("impossible"); else printf("%d", t); return 0; }
Dijkstra演算法與Prim演算法的聯絡：
Dijkstra演算法是更新到起始點的距離，Prim是更新到集合S的距離
一些注意事項：
從第一個節點開始：
為了與前面學習的的Dijkstra演算法相照應，方便記憶
更新權重寫在前面：
寫在前面，如果一個節點本身出現負環，下面這句更新後，會影響結果，比如
g[t] [j],當t = j,更新了g[t][t],影響res結果
2.Kruskal演算法
Kruskal演算法採用的是另一種貪心的策略。
樸素prim 演算法時間複雜度：O(eloge)
思路：
Kruskal演算法為了提高每次貪心選擇時查詢最短邊的效率，可以先將圖G中的邊按代價從小到大排序，則這個操作的時間複雜度為O(eloge)，其中e為無向連通網中邊的個數。對於兩個頂點是否屬於同一個連通分量，可以用並查集的操作將其時間效能提高到O(e)，所以，Kruskal演算法的時間效能是O(eloge)。
將所有的邊按權重從小到大排序O(elog(e))
列舉每條邊
a,b，權重為cif
a,b兩點不連通 O(e) 將
a,b邊加入集合中注意：
（1）操作2，判斷是否為同一個連通分量；合併頂點——>並查集
（2）需要使用變數cnt來記錄加入集合的邊數，若
cnt < n - 1表明不能遍歷所有點
儲存：
不用複雜的資料結構，用結構體將邊存下來即可！
【題目描述】
acwing859
給定一個 n 個點 m 條邊的無向圖，圖中可能存在重邊和自環，邊權可能為負數。
求最小生成樹的樹邊權重之和，如果最小生成樹不存在則輸出
impossible。給定一張邊帶權的無向圖 G=(V,E)，其中 VV 表示圖中點的集合，E 表示圖中邊的集合，n=|V|，m=|E|。
由 V 中的全部 n 個頂點和 E 中 n−1 條邊構成的無向連通子圖被稱為 G 的一棵生成樹，其中邊的權值之和最小的生成樹被稱為無向圖 G 的最小生成樹。
輸入格式
第一行包含兩個整數 n 和 m。
接下來 m 行，每行包含三個整數 u,v,w，表示點 u 和點 vv 之間存在一條權值為 w 的邊。
輸出格式
共一行，若存在最小生成樹，則輸出一個整數，表示最小生成樹的樹邊權重之和，如果最小生成樹不存在則輸出
impossible。資料範圍
1≤n≤105,
1≤m≤2∗105,
圖中涉及邊的邊權的絕對值均不超過 10001000。輸入樣例：
4 5 1 2 1 1 3 2 1 4 3 2 3 2 3 4 4輸出樣例：
6
【參考程式碼】
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 2 * N, INF = 0x3f3f3f3f;
int p[N]; //儲存祖宗節點
int n, m;
//結構體：存邊
struct Edge
{
int a,b,w;
bool operator< (const Edge &W)const // 過載，方便比較大小(按邊權重大小排序)
{
return w < W.w;
}
}edges[M];
// 並查集操作 —— 返回祖宗節點 + 路徑壓縮
int find(int x)
{
if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int kruskal()
{
sort(edges, edges + m); // 將邊升序排序
// 初始化並查集
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;
int res = 0, cnt = 0;
for (int i = 0; i < m; i ++ ) // 每輪拿到最短邊
{
int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
//如果 a,b兩點不連通，則合併
a = find(a), b = find(b);
if(a != b)
{
p[a] = b;
res += w;
cnt ++;
}
}
if(cnt < n - 1) return INF;
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 0; i < m; i ++ )
{
int a, b, w;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
edges[i] = {a, b, w}; // 存邊
}
int t = kruskal();
if(t == INF) puts("impossible");
else printf("%d", t);
return 0;
}
學習內容源自：
acwing演算法基礎課
注：如果文章有任何錯誤或不足，請各位大佬盡情指出，評論留言留下您寶貴的建議！如果這篇文章對你有些許幫助，希望可愛親切的您點個贊推薦一手，非常感謝啦