題目描述

咕咕咕

分析

假設我們對第 \(i\) 個開關的操作是 \(x_i\)，那麼

\[x_i = \left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{for} & \mbox{open} \\ 0 & \mbox{for} & \mbox{close} \\ \end{array}\right.\]

再使用 \(a_{i,j}\) 表示 \(i\) 受 \(j\) 的影響，有

\[a_{i,j} = \left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{for} & \mbox{Yes} \\ 0 & \mbox{for} & \mbox{No} \\ \end{array}\right.\]

特別地，令 \(a_{i,i}=1\)

。
由於 \(0\ \mbox{xor} \ 1=1,0\ \mbox{xor} \ 0=0,1\ \mbox{xor} \ 1=0\)，我們可以列出方程組：

\[\left\{ \begin{array}{rcl} start_1\ \mbox{xor}\ (a_{1,1}x_1\ \mbox{xor}\ a_{1,2}x_1\ \mbox{xor}…\mbox{xor}\ a_{1,n}x_n)\ = end_1\\ start_2\ \mbox{xor}\ (a_{2,1}x_2\ \mbox{xor}\ a_{2,2}x_2\ \mbox{xor}…\mbox{xor}\ a_{2,n}x_n)\ = end_2\\ …\\ start_n\ \mbox{xor}\ (a_{n,1}x_n\ \mbox{xor}\ a_{n,2}x_n\ \mbox{xor}…\mbox{xor}\ a_{n,n}x_n)\ = end_n\\ \end{array}\right.\]

由 \(\mbox{xor}\)

獨特的移項方式可得：

\[\left\{ \begin{array}{rcl} a_{1,1}x_1\ \mbox{xor}\ a_{1,2}x_1\ \mbox{xor}…\mbox{xor}\ a_{1,n}x_n\ = start_1\ \mbox{xor}\ end_1\\ a_{2,1}x_2\ \mbox{xor}\ a_{2,2}x_2\ \mbox{xor}…\mbox{xor}\ a_{2,n}x_n\ = start_2\ \mbox{xor}\ end_2\\ …\\ a_{n,1}x_n\ \mbox{xor}\ a_{n,2}x_n\ \mbox{xor}…\mbox{xor}\ a_{n,n}x_n\ = start_n\ \mbox{xor}\ end_n\\ \end{array}\right.\]

可以使用高斯消元的思想。

程式碼

大致可以劃分三步。

1. 建立矩陣

void build(){
	for(int i=1;i<=n;i++)st[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i][i]=1;
		int ed=read();
		a[i][n+1]=st[i]^ed;
	}
	do{
		int u=read(),v=read();
		if(!u&&!v)return ;
		a[v][u]=1;
	}while(true);
}

這裡需要注意的是，是 \(v\) 被 \(u\) 影響，所以必須是 \(a_{v,u}=1\) 而不是 \(a_{u,v}=1\)
2. 消元

for(int j=1;j<=n;j++){
	if(i==j)continue;
	if(!a[j][i])continue;
	for(int t=i;t<=n+1;t++)
		a[j][t]^=a[i][t];
}

以達到左右兩邊互相異或的效果。
3. 統計答案
注意：等式兩邊都為 \(0\) 是自由元，等式左邊為 \(0\) ,而右邊非 \(0\) 為矛盾

int tot=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
	if(!a[i][i]&&a[i][n+1]){
		tot=-1;
		break;
	}
	if(!a[i][i]&&!a[i][n+1])tot++;
}

AC code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
int read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-')f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
int n;
int st[32];
int a[32][32];
void build(){
	for(int i=1;i<=n;i++)st[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i][i]=1;
		int ed=read();
		a[i][n+1]=st[i]^ed;
	}
	do{
		int u=read(),v=read();
		if(!u&&!v)return ;
		a[v][u]=1;
	}while(true);
}
int find(int x){
	for(int i=x;i<=n;i++)
		if(a[i][x])return i;
	return 0;
}
void check(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++)
			printf("%d ",a[i][j]);
		printf("| %d\n",a[i][n+1]);
	}
	puts("");
}
int main(){
//	freopen("data.in","r",stdin);
//	freopen("data.out","w",stdout);
	int T=read();
	while(T--){
		n=read();
		memset(a,0,sizeof a);
		build();
//		cout<<"[0]\n";
//		check();
		for(int i=1;i<=n;i++){
			int t=find(i);
			if(!t)continue;
//			cout<<"["<<i<<"] t = "<<t<<"\n";
			swap(a[i],a[t]);
			for(int j=1;j<=n;j++){
				if(i==j)continue;
				if(!a[j][i])continue;
				for(int t=i;t<=n+1;t++)
					a[j][t]^=a[i][t];
			}
//			check();
		}
		int tot=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(!a[i][i]&&a[i][n+1]){
				tot=-1;
				break;
			}
			if(!a[i][i]&&!a[i][n+1])tot++;
		}
		if(tot==-1)puts("Oh,it's impossible~!!");
		else printf("%d\n",1<<tot);
	}
	return 0;
}

$$-----END-----$$