最大權閉合子圖與最大密度子圖
阿新 • • 發佈：2022-01-04
最大權閉合子圖
問題
給定一個有向圖，點有點權（有正負），從中選出一個子圖的點權和最大並且滿足對於每一條有向邊 \((u,v)\) ，若 \(u\) 在子圖內則 \(v\) 必須在子圖內部。
解法
考慮每一個點最後必然只存在於兩種情況之中——在或不在最大權閉合子圖中。因此我們考慮使用最小割，將位於最大權閉合子圖中的點與 \(S\) 位於一個集合之中，否則與 \(T\) 在一個集合之中。
那麼顯然可以建邊 \((S,u,val_u)\) ，表示割掉這條邊我們就放棄這個點的權值。同時對於原圖上的有向邊，我們令其邊權為 \(+\infty\) 。同時每一個點向匯點連去一條 \((u,T,0)\) 的邊，表示分到和 \(S\)
但是考慮到權值可能存在負數，所以我們利用一個預流的 \(\text{trick}\) ，即先將 \(S\rightarrow u\rightarrow T\) 流 \(-val_u\) 的流量，同時將我們一開始的總權值減去對應的流量。轉化之後我們相當於對負權點建 \((S,u,0)\) 和 \((u,T,-val_u)\) 兩條邊，答案就是所有正權點的和減去該圖的最小割。
最大密度子圖
問題
給定一張無向圖，邊有邊權，點有點權，選出一個邊集 \(\mathbb E\) ，令 \(\mathbb V\) 為邊集中點對應的點集，最大化下式：
\[\text{res}=\frac{\sum_{e\in\mathbb E}val_e}{\sum_{u\in\mathbb V}val_u} \]解法
考慮這個問題是一個很類似於 \(01\) 分數規劃的東西，我們嘗試用類似的解法來做，考慮二分這個答案 \(\text{mid}\) 。
\[\sum_{e\in\mathbb E}val_e\ge \text{mid}(\sum_{u\in\mathbb V}val_u)\\ \sum_{e\in\mathbb E}val_e-\text{mid}(\sum_{u\in\mathbb V}val_u)\ge 0\\ \]所以我們要使得
\[\sum_{e\in\mathbb E}val_e-\text{mid}(\sum_{u\in\mathbb V}val_u) \]最大。
演算法一
考慮到我們前面的最大權閉合子圖，發現我們這裡需要滿足邊選擇了，點就必須選。我們就給每一條邊和點建出對應的點，並做最大權閉合子圖即可。
演算法二
誘導子圖最小割。（不會）