0. 引言

最近鄙人面試百度，出了這道求解公子序列長度的演算法題。故此總結一下，這是一個很典型的題目，希望對大家將來的面試中能起到學習的作用。

1. 問題描述

子串應該比較好理解，至於什麼是子序列，這裡給出一個例子：有兩個母串

• cnblogs
• belong

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs與belong中都出現過並且出現順序與母串保持一致，我們將其稱為公共子序列。最長公共子序列（Longest Common Subsequence,LCS），顧名思義，是指在所有的子序列中最長的那一個。子串是要求更嚴格的一種子序列，要求在母串中連續地出現。在上述例子的中，最長公共子序列為blog（cnblog

2. 求解演算法

對於母串X=<x1,x2,⋯,xm>, Y=<y1,y2,⋯,yn>，求LCS與最長公共子串。

暴力解法 假設 m<n， 對於母串X，我們可以暴力找出2的m次方個子序列，然後依次在母串Y中匹配，演算法的時間複雜度會達到指數級O(n∗2的m次)。顯然，暴力求解不太適用於此類問題。

動態規劃 假設Z=<z1,z2,⋯,zk>是X與Y的LCS， 我們觀察到 如果Xm=Yn，則Zk=Xm=Yn，有Zk−1是Xm−1與Yn−1的LCS； 如果Xm≠Yn，則Zk是Xm與Yn−1的LCS，或者是Xm−1與Yn的LCS。 因此，求解LCS的問題則變成遞迴求解的兩個子問題。但是，上述的遞迴求解的辦法中，重複的子問題多，效率低下。改進的辦法——用空間換時間

DP求解LCS 用二維陣列c[i][j]記錄串x1x2⋯xi與y1y2⋯yj的LCS長度，則可得到狀態轉移方程

public static int lcs(String str1, String str2) {
    int len1 = str1.length();
    int len2 = str2.length();
    int c[][] = new int[len1 + 1][len2 + 1];
    for (int i = 0; i <= len1; i++) {
        for (int j = 0; j <= len2; j++) {
            if (i == 0 || j == 0) {
                c[i][j] = 0;
            }
            else if (str1.charAt(i - 1) == str2.charAt(j - 1)) {
                c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
            }
            else {
                c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    return c[len1][len2];
}
 

DP求解最長公共子串 前面提到了子串是一種特殊的子序列，因此同樣可以用DP來解決。定義陣列的儲存含義對於後面推導轉移方程顯得尤為重要，糟糕的陣列定義會導致異常繁雜的轉移方程。考慮到子串的連續性，將二維陣列c[i][j]用來記錄具有這樣特點的子串——結尾同時也為為串x1x2⋯xi與y1y2⋯yj的結尾——的長度。 得到轉移方程：

最長公共子串的長度為 max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n}。 程式碼實現

public static int lcs(String str1, String str2) {
    int len1 = str1.length();
    int len2 = str2.length();
    int result = 0;     //記錄最長公共子串長度  
    int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
    for (int i = 0; i <= len1; i++) {
        for( int j = 0; j <= len2; j++) {
            if(i == 0 || j == 0) {
                c[i][j] = 0;
            } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                result = max(c[i][j], result);
            } else {
                c[i][j] = 0;
            }
        }
    }
    return result;
}