學習筆記——線段樹

阿新 • • 發佈：2022-01-19

線段樹

Question

用一個數據結構維護一個數列，支援：

單點/區間修改
區間求和/最大值/最小值/...

DateStructure:線段樹

整體思想

線段樹就是一大段分成兩小段，對於小段再繼續分割，更新時更新父節點，查詢時合併區間的查詢。

操作方法

單點修改

從最大區間開始一直尋找包含修改點的區間，同時對包含此點區間進行值的修改。

區間查詢

從最大區間開始一直遍歷兩個子區間，每個區間有三種情況：

與查詢區間完全不相交，此時直接跳出。
被查詢區間完全包含，此時返回此區間的值。
1,2都不滿足，此時繼續遍歷兩個子區間。

Lazy Tag

當進行區間修改的時候，如果一次性更新到最底層的節點時，時間就會變成 \(O(n)\)

，穩穩炸飛。

這時候我們就要打“懶標記”了。

當一個區間完全被包含在修改區間內的時候，就給他打上標記，當查詢到它的子區間時再去下傳標記。

Code

單點查詢和更改更簡單一些，會了區間肯定能實現出來，這裡就只粘上區間更改和查詢的板子了。

~~其實就是懶。~~

void pushdown(ll p){//下傳標記
	if(!t[p].bj)return;
	t[p*2].bj+=t[p].bj,t[p*2].val+=t[p].bj*(t[p*2].r-t[p*2].l+1);
	t[p*2+1].bj+=t[p].bj,t[p*2+1].val+=t[p].bj*(t[p*2+1].r-t[p*2+1].l+1);
	t[p].bj=0;
	//先打標記，再更新值
}ll build_tree(ll p,ll l,ll r){//
	t[p].l=l,t[p].r=r;
	if(l==r)scanf("%lld",&t[p].val);
	//最底層的點
	else{
		ll mid=(l+r)>>1;
		t[p].val=build_tree(p*2,l,mid)+build_tree(p*2+1,mid+1,r);
		//建兒子
	}return t[p].val;
}void update(ll p,ll l,ll r,ll d){//區間更新
	ll le=t[p].l,ri=t[p].r;
	if(le>r||ri<l)return;
	if(le>=l&&ri<=r)t[p].val+=d*(t[p].r-t[p].l+1),t[p].bj+=d;
	//打上標記
	else{
		pushdown(p),update(p*2,l,r,d),update(p*2+1,l,r,d);
		t[p].val=t[p*2].val+t[p*2+1].val;
		//給兒子下傳之前的標記
	}
}ll query(ll p,ll l,ll r){//查詢
	ll le=t[p].l,ri=t[p].r,ans;
	if(le>r||ri<l)return 0;
	if(le>=l&&ri<=r)return t[p].val;
	pushdown(p);//下傳標記
	return ans=query(p*2,l,r)+query(p*2+1,l,r);
}

Example：山海經

~~因為教練給我們留的六道題中五道都是裸板子，所以只能直接放毒瘤題了。~~

Meaning of the Problem

給你一個序列，每次查詢區間 \((x,y)\) 的最大子段和。

Solution

我們要維護一堆東西：

區間和
最大字首和其右端點
最大子段和其左右端點
最大字尾和其左端點

為什麼這麼麻煩呢？

因為我們要通過合併來維護子段和。

對於一個區間的最大字首和有兩種情況：
1. 左子區間的最大字首和。
2. 左子區間和加右子區間的最大字首和。
對於一個區間的最大字尾和有兩種情況：
1. 右子區間的最大字尾和。
2. 右子區間和加左子區間的最大字尾和。
對於一個區間的最大子段和有三種情況：
1. 左子區間的最大子段和。
2. 右子區間的最大子段和。
3. 左子區間的最大字尾和加右子區間的最大字首和。

只要我們把板子裡的"求和操作"改成"合併操作"就可以了。

這道題很噁心（對於線段樹初學者來說），很適合鍛鍊程式碼能力，我寫+調了一個早上才過，同機房的大佬們只有兩個調到了晚上才過，大多數人還在調……

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define _for(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define for_(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e5+10,inf=0x3f3f3f3f;
ll n,m,x,y,a[N],ans;
struct stru{
	ll val,l,r;//區間與值
	ll qz,qr,hz,hl;//維護前後綴
	ll zz,zl,zr;//維護中綴
	#define ls p<<1
	#define rs p<<1|1
}t[4*N];
inline ll read(){
	int x=0,w=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();
	return w*x;
}stru merge(stru a,stru b){//合併
	stru p;//合併結果區間
	//特判
	if(a.l==0&&a.r==0&&b.l==0&&b.r==0)return stru{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};
	if(a.l==0&&a.r==0)return b;
	if(b.l==0&&b.r==0)return a;
	//左右端點
	p.l=a.l,p.r=b.r;
	//區間和
	p.val=a.val+b.val;
	//字首
	if(a.val+b.qz>a.qz)p.qz=a.val+b.qz,p.qr=b.qr;
	else p.qz=a.qz,p.qr=a.qr;
	//字尾
	if(b.val+a.hz<b.hz) p.hz=b.hz,p.hl=b.hl;
	else p.hz=b.val+a.hz,p.hl=a.hl;
	//中綴
	int qjh=a.hz+b.qz;//前加後
	if(a.zz>=qjh&&a.zz>=b.zz)p.zz=a.zz,p.zl=a.zl,p.zr=a.zr;
	else if(qjh>=b.zz)p.zz=qjh,p.zl=a.hl,p.zr=b.qr;
	else p.zz=b.zz,p.zl=b.zl,p.zr=b.zr;
	return p;
}void build_tree(int p,int l,int r){
	#define f t[p]
	f.l=l,f.r=r;
	if(l==r){
		f.zz=f.val=read();
		f.qz=f.hz=f.val;
		f.qr=f.zl=f.zr=f.hl=l;
	}else{
		int mid=(l+r)>>1;
		build_tree(ls,l,mid),build_tree(rs,mid+1,r);
		f=merge(t[ls],t[rs]);
	}
}stru query(int p,int l,int r){
	int le=t[p].l,ri=t[p].r;
	stru tmp=stru{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};
	if(le>r||ri<l)return tmp;
	if(le>=l&&ri<=r)tmp=t[p];
	else tmp=merge(query(p*2,l,r),query(p*2+1,l,r));
	return tmp;
}
int main(){
	freopen("date.in","r",stdin);
	n=read(),m=read();
	build_tree(1,1,n);
	while(m--){
		x=read(),y=read();stru ans=query(1,x,y);
		printf("%lld %lld %lld\n",ans.zl,ans.zr,ans.zz);
	}
	return 0;
}

本文來自部落格園，作者：Keven-He，轉載請註明原文連結：https://www.cnblogs.com/Keven-He/p/15820082.html