正題

題目大意

給出\(n\)個點的一棵樹，每個點有個顏色\(a_i\)，你每次可以選擇一個顏色全部變成另一個顏色。

求最少多少次操作可以把一種顏色變成一個完整的連通塊。

\(1\leq k\leq n\leq 2\times 10^5\)

解題思路

考慮如果我們要把一個顏色變成一個聯通塊，那麼首先得把它目前包含它顏色點的最小聯通子圖全都同化，並且同化這些顏色之後還有可能需要同化其他更多顏色。

這是一個類似於跑圖的過程，我們可以考慮建邊，如果顏色\(A\)需要顏色\(B\)那麼\(A\rightarrow B\)，最後跑出來的圖我們找一個點能走到的點數最少即可。

至於怎麼優化這個建圖的過程，我們樹鏈剖分+線段樹上維護每個節點，然後每個節點連向對應的顏色。

然後對於一種顏色我們按照點的\(dfs\)序排序，然後收尾相連相鄰的點之間的路徑拼起來恰好是它顏色的生成子圖的兩倍，之間用樹鏈剖分去連邊就好了。

至於建好圖之後跑個tarjan就能求出答案了

時間複雜度：\(O(n\log^2 n)\)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<stack>
using namespace std;
const int N=2e5+10,M=N*5;
struct node{
	int to,next;
}a[N<<1];
int n,k,cnt,tot,c[N],ls[N],fa[N],siz[N];
int seg[N],id[N],top[N],son[N],dep[N];
int num,dfc,p[M],dfn[M],low[M],col[M],f[M],in[M];
bool ins[N];stack<int> s;vector<int> v[N],G[M];
void addl(int x,int y){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;return;
}
void dfs1(int x){
	dep[x]=dep[fa[x]]+1;siz[x]=1;
	for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
		int y=a[i].to;
		if(y==fa[x])continue;
		fa[y]=x;dfs1(y);siz[x]+=siz[y];
		if(siz[y]>siz[son[x]])son[x]=y;
	}
	return;
}
void dfs2(int x){
	seg[++cnt]=x;id[x]=cnt;
	if(son[x]){
		top[son[x]]=top[x];
		dfs2(son[x]);
	}
	for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
		int y=a[i].to;
		if(y==fa[x]||y==son[x])continue;
		top[y]=y;dfs2(y);
	}
	return;
}
void Build(int x,int L,int R){
	p[x]=++cnt;
	if(L==R){G[p[x]].push_back(c[seg[L]]);return;}
	int mid=(L+R)>>1;
	Build(x*2,L,mid);Build(x*2+1,mid+1,R);
	G[p[x]].push_back(p[x*2]);
	G[p[x]].push_back(p[x*2+1]);
	return;
}
void Change(int x,int L,int R,int l,int r,int vp){
	if(L==l&&R==r){G[vp].push_back(p[x]);return;}
	int mid=(L+R)>>1;
	if(r<=mid)Change(x*2,L,mid,l,r,vp);
	else if(l>mid)Change(x*2+1,mid+1,R,l,r,vp);
	else Change(x*2,L,mid,l,mid,vp),Change(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r,vp);
	return;
}
void Recovery(int x,int y,int s){
//	printf("%d %d %d\n",x,y,s);
	while(top[x]!=top[y]){
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
		Change(1,1,n,id[top[x]],id[x],s);x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
	Change(1,1,n,id[x],id[y],s);
	return;
}
void tarjan(int x){
	dfn[x]=low[x]=++dfc;
	ins[x]=1;s.push(x);
	for(int i=0;i<G[x].size();i++){
		int y=G[x][i];
		if(!dfn[y]){
			tarjan(y);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
		}
		else if(ins[y])
			low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
	if(low[x]==dfn[x]){
		int y;++num;
		do{
			y=s.top();s.pop();ins[y]=0;
			f[num]+=(y<=k);col[y]=num;
		}while(y!=x);
	}
	return;
}
bool cmp(int x,int y)
{return id[x]<id[y];}
int main()
{
	freopen("color.in","r",stdin);
	freopen("color.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		addl(x,y);addl(y,x);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&c[i]),v[c[i]].push_back(i);
	dfs1(1);top[1]=1;dfs2(1);
	cnt=k;Build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=k;i++){
		if(v[i].size()<2)continue;
		sort(v[i].begin(),v[i].end(),cmp);
		for(int j=1;j<v[i].size();j++)
			Recovery(v[i][j-1],v[i][j],i);
	}
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
		if(!dfn[i])tarjan(i);
	for(int x=1;x<=cnt;x++){
		for(int i=0;i<G[x].size();i++){
			int y=G[x][i];
			if(col[x]==col[y])continue;
			in[col[x]]++;
		}
	}
	int ans=k;
	for(int i=1;i<=k;i++)
		if(!in[col[i]])ans=min(ans,f[col[i]]);
	printf("%d\n",ans-1);
	return 0;
}