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  • 擴充套件歐幾里得演算法求解
    • 分析
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  • 參考文章

題目描述

給定 nn 組資料 ai,bi,mi，對於每組數求出一個 xi，使其滿足 \(ai×xi≡bi(\%mi)\)，如果無解則輸出 impossible。

輸入格式

第一行包含整數 n。

接下來 n 行，每行包含一組資料 ai,bi,mi

輸出格式

輸出共 n 行，每組資料輸出一個整數表示一個滿足條件的 xi，如果無解則輸出 impossible。

每組資料結果佔一行，結果可能不唯一，輸出任意一個滿足條件的結果均可。

輸出答案必須在 int範圍之內。

資料範圍

1≤n≤105
1≤ai,bi,mi≤2×1091

輸入樣例：

2
2 3 6
4 3 5

輸出樣例：

impossible
-3

擴充套件歐幾里得演算法求解

分析

因為 $a∗x≡b(% m) $等價於 \(a∗x−b\) 是m的倍數，因此線性同餘方程等價為 \(a∗x+m∗y=b\)
根據 Bezout 定理，上述等式有解當且僅當 \(gcd(a,m)|b\) （\(b整除 gcd(a,m)\)）
因此先用擴充套件歐幾里得演算法求出一組整數 \(x0,y0\) 使得 \(a∗x0+m∗y0=gcd(a,m)\)。 然後$ x=x0∗b/gcd(a,m)%m$ 即是所求。

https://www.acwing.com/solution/content/5937/

程式碼

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
// 返回 gcd(a,b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}


int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while(n --)
    {
        int a, b, m;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &m);
        int x, y;
        int d = exgcd(a, m, x, y);
        if(b % d) // b不能整除gcd(a,b)，此時無解
        {
            printf("impossible\n");
        }
        else 
        {
            LL res = (LL) x * b / d % m;
            printf("%lld\n", res);
        }
    }
    return 0;
}

 

時間複雜度

參考文章