1. 概述
AVL樹是最早提出的自平衡二叉樹，在AVL樹中任何節點的兩個子樹的高度最大差別為一，所以它也被稱為高度平衡樹。AVL樹得名於它的發明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL樹種查詢、插入和刪除在平均和最壞情況下都是O（log n），增加和刪除可能需要通過一次或多次樹旋轉來重新平衡這個樹。本文介紹了AVL樹的設計思想和基本操作。
2. 基本術語
有四種種情況可能導致二叉查詢樹不平衡，分別為：
（1）LL：插入一個新節點到根節點的左子樹（Left）的左子樹（Left），導致根節點的平衡因子由1變為2
（2）RR：插入一個新節點到根節點的右子樹（Right）的右子樹（Right），導致根節點的平衡因子由-1變為-2
（3）LR：插入一個新節點到根節點的左子樹（Left）的右子樹（Right），導致根節點的平衡因子由1變為2
（4）RL：插入一個新節點到根節點的右子樹（Right）的左子樹（Left），導致根節點的平衡因子由-1變為-2
針對四種種情況可能導致的不平衡，可以通過旋轉使之變平衡。有兩種基本的旋轉：
（1）左旋轉：將根節點旋轉到（根節點的）右孩子的左孩子位置
（2）右旋轉：將根節點旋轉到（根節點的）左孩子的右孩子位置
基本的資料結構

typedef struct Node* Tree;
typedef struct Node* Node_t;
typedef Type int;
struct Node{
     Node_t left;
     Node_t right;
     int height;
     Type data;
};
int Height(Node_t node) {
     return node->height;
}

3.1 LL

LL情況需要右旋解決，如下圖所示：

Node_t RightRotate(Node_t a) {
     b = a->left;
     a->left = b->right;
     b->right = a;
     a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right));
     b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right));
     return b;
}

3.2 RR

RR情況需要左旋解決，如下圖所示：

3.3 LR

LR情況需要左右（先B左旋轉，後A右旋轉）旋解決，如下圖所示：

Node_t LeftRightRotate(Node_t a) {
     a->left = LeftRotate(a->left);
     return RightRotate(a);
}

3.4 RL

RL情況需要右左旋解決（先B右旋轉，後A左旋轉），如下圖所示：

Node_t RightLeftRotate(Node_t a) {
     a->right = RightRotate(a->right);
     return LeftRotate(a);
}

4. AVL數的插入和刪除操作

(1) 插入操作：實際上就是在不同情況下采用不同的旋轉方式調整整棵樹，具體程式碼如下：

Node_t Insert(Type x, Tree t) {
    if(t == NULL) {
        t = NewNode(x);
     } else if(x < t->data) {
         t->left = Insert(t->left);
         if(Height(t->left) - Height(t->right) == 2) {
                if(x < t->left->data) {
                      t = RightRotate(t);
               } else {
                      t = LeftRightRotate(t);
               }
        }
        } else {
               t->right = Insert(t->right);
               if(Height(t->right) - Height(t->left) == 2) {
                     if(x > t->right->data) {
                          t = LeftRotate(t);
                    } else {
                         t = RightLeftRotate(t);
                    }
               }
      }
      t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;
      return t;
}

(2) 刪除操作：首先定位要刪除的節點，然後用該節點的右孩子的最左孩子替換該節點，並重新調整以該節點為根的子樹為AVL樹，具體調整方法跟插入資料類似，程式碼如下：

Node_t Delete(Type x, Tree t) {
      if(t == NULL) return NULL;
      if(t->data == x) {
            if(t->right == NULL) {
                   Node_t temp = t;
                   t = t->left;
                   free(temp);
            } else {
                  Node_t head = t->right;
                  while(head->left) {
                         head = head->left;
                  }
                  t->data = head->data; //just copy data
                  t->right = Delete(t->data, t->right);
                  t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;
         }
         return t;
     } else if(t->data < x) {
            Delete(x, t->right);
            if(t->right) Rotate(x, t->right);
            } else {
                 Delete(x, t->left);
                 if(t->left) Rotate(x, t->left);
            }
            if(t) Rotate(x, t);
}

5. 總結

AVL樹是最早的自平衡二叉樹，相比於後來出現的平衡二叉樹（紅黑樹，treap，splay樹）而言，它現在應用較少，但研究AVL樹對於瞭解後面出現的常用平衡二叉樹具有重要意義。